Matematik

integralregning - areal & omdrejningslegeme

06. december 2016 af Mm98 - Niveau: A-niveau

Hej allesammen!

Jeg har brug for jeres hjælp til en matematikopgave. Vi er lige startet med et nyt emne omkring integralregning. Jeg kan ikke rigtig finde ud af at regne det ud i hånden, men jeg er super god til at bruge TI-Nspire til at finde arealer osv.

Håber der er en der vil vise mig hvordan man kan lave følgende opgave i hånden.

Tak på forhånd.

Opgaven lyder som følgende:

En funktion er givet ved:

Bestem arealet af området M, der ligger mellem førsteaksen og grafen for f.

Bestem volumenet af det omdrejningslegeme, der fås ved at dreje M 360 grader omkring x-aksen.

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2016 af mathon

Grafen er en grennedadvendende parabel.

Nulpunkterne er integrationsgrænserne og y-aksen er symmetriakse:

$A=\int_{a}^{b}\left (-x^2+4 \right )\mathrm{d}x$

Svar #2
06. december 2016 af Mm98

Hvordan finder jeg integrationsgrænserne uden hjælpemidler?

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. december 2016 af mathon

Du har
f(x)=-x^2+4=4-x^2=2^2-x^2=(2+x)(2-x)

beregn x i:
(2+x)(2-x)=0

Svar #4
06. december 2016 af Mm98

Jeg får integragtionsgrænserne til at være -2 og 2

$\int_{-2}^{2} (-x^2 +4)dx = [-1/3 +2x^2]$

og så regner jeg videre ..

er det korrekt integreret - i den kantet parentes?

Svar #5
06. december 2016 af Mm98

?:)

Svar #6
06. december 2016 af Mm98

Please hjælp mig. Jeg vil virkelig gerne lærer hvordan man beregner areal og omdrejningslegeme i hånden..

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. december 2016 af mathon

$A=\int_{-2}^{2}\left (4-x^2 \right )\mathrm{d}x=2\int_{0}^{2}\left (4-x^2 \right )\mathrm{d}x=$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2\cdot \left [4x-\tfrac{1}{3}x^3 \right ]_{0}^{2}=2\cdot \left ( 4\cdot 2-\tfrac{1}{3}\cdot 2^3 \right )=2\cdot \left ( \tfrac{24}{3}-\tfrac{8}{3} \right )=2\cdot \tfrac{16}{3}=\tfrac{32}{3}=\tfrac{30}{3}+\tfrac{2}{3}=10\tfrac{2}{3}$

Svar #8
06. december 2016 af Mm98

$A=\int_{-2}^{2}\left (4-x^2 \right )\mathrm{d}x=2\int_{0}^{2}\left (4-x^2 \right )\mathrm{d}x=$

Hvorfor skriver du det sådanne?

er integrationsgrænserne ikke kun -2 og 2?

jeg bliver en smule forvirret af det du gør efter. Er det konstanten du sætter bag integrationstegnet?

hvorfor kan man ikke bare sige

$\int_{a}^{b} f(x)dx=[F(x)]^b_a$

og så minus a - b fra hinanden i stedet for at man også skriver $2\int_{0}^{2}\left (4-x^2 \right )\mathrm{d}x=$

Brugbart svar (1)

Svar #9
06. december 2016 af mathon

Det kan man også, men den ovenfor anvendte symmetri letter beregningen.

Svar #10
06. december 2016 af Mm98

Når okay, jeg får det i hvert fald og så til 32/2 , men du har så forkortet :)

Jeg går ud fra at dette er arealet af M. Hvordan bestemmer man så volumenet af omdrejningslegeme?

Beregner man volume og rumfang på samme måde?

Altså ved brug af denne formel:

$pi\int_{a}^{b} f(x)dx$

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. december 2016 af mathon

…men hvis du insisterer:

$A=\int_{-2}^{2}\left (4-x^2 \right )\mathrm{d}x=\left [4x-\frac{1}{3}x^3 \right ]_{-2}^{2}=\left (4\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot 2^3-\left ( 4\cdot (-2)-\frac{1}{3}\cdot (-2)^3 \right ) \right )=$

$8-\frac{8}{3}-\left ( -8+\frac{8}{3} \right )=8-\frac{8}{3}+8-\frac{8}{3}=16-\frac{16}{3}=\frac{48}{3}-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}=10\tfrac{2}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
06. december 2016 af mathon

#10

Voluminet af ved 360°'s omdrejning om x-aksen:

$V=\pi \cdot \int_{a}^{b}f(x)^2\mathrm{d}x$

Svar #13
06. december 2016 af Mm98

#11 mange tak skal du have!! det andet forvirrede mig en smule, da jeg ikke har lært det på den måde.

- Jeg har set nogle videoer på youtube om hvordan man beregner volumenet af et omdrejningslegeme, men jeg fortår det simpelthen ikke. Vil du også hjælpe mig med det ? :)

Svar #14
06. december 2016 af Mm98

Nåår, så det må være

$V=\pi \cdot \int_{-2}^{2}f(-x^2+4)^2\mathrm{d}x$

ikke? :))

Brugbart svar (0)

Svar #15
06. december 2016 af mathon

Jo.

Svar #16
06. december 2016 af Mm98

$V=\pi \cdot \int_{-2}^{2}f((-x^2)^2+4^2)^2\mathrm{d}x$

Svar #17
06. december 2016 af Mm98

Okay, mange tak for hjælpen!! :-)))

Brugbart svar (0)

Svar #18
06. december 2016 af mathon

#16
er forkert!

Svar #19
06. december 2016 af Mm98

$V=\pi \cdot \int_{-2}^{2}f(-x^2+4)^2\mathrm{d}x$

$V=\pi \cdot \int_{-2}^{2}f(-x^4+8x^2+16)\mathrm{d}x$

er det rigtigt at det skal give:

$\frac{512\pi }{15}$

- Jeg skrev det ind på symbolab, for at se hvordan man kan beregner det, men det gjorde mig bare endnu mere forvirret..

Brugbart svar (0)

Svar #20
07. december 2016 af mathon

$V=\pi \cdot \int_{a}^{b}\left (f(x) \right )^2\mathrm{d}x=\pi \int_{-2}^{2}\left ( 16-8x^2+x^4 \right )\mathrm{d}x=$

$\pi \left [ 16x-\tfrac{8}{3}x^3+\tfrac{1}{5}x^5 \right ]_{-2}^{2}=\pi \cdot \left ( 16\cdot 2-\tfrac{8}{3}\cdot 2^3+\tfrac{1}{5}\cdot 2^5-\left ( 16\cdot (-2)-\tfrac{8}{3}\cdot (-2)^3+\tfrac{1}{5}\cdot (-2)^5 \right ) \right )=$

$\pi \cdot \left ( 32-\tfrac{64}{3}+\tfrac{32}{5}+32-\tfrac{64}{3}+\tfrac{32}{5} \right )=\tfrac{512\pi }{15}$

Forrige 1 2 Næste

Der er 22 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.