Matematik

Trigonometriske funktioner - løsning af ligning

11. januar kl. 01:27 af Sluntegøj - Niveau: A-niveau

Jeg har en ven der spurgte mig om hvordan man kunne løse en trigonometrisk ligning i hånden. Jeg forsøgte selv, men jeg må indrømme jeg ikke selv rigtig kan få de løsninger, som Maple giver mig. Opgaven lyder:

f(x)=3sin(2x)+7, 0\leq x\leq 2\pi

Når jeg løser den i Maple får jeg følgende løsninger:

x=0.2617\vee x=1.3089 \vee x=3.4033 \vee x=4.4505

Jeg håber I vil hjæle mig, men også min ven i at forstå, hvordan man løser dem i hånden.

Mvh

Sluntegøj


Brugbart svar (0)

Svar #1
11. januar kl. 03:09 af SuneChr

Som du har skrevet det, er der tale om funktionen
f (x) og ikke en ligning.
Dine fire løsninger i intervallet x ∈ [0 ; 2π] passer bedre i ligningen
3·sin (2x) - 3/2 = 0


Brugbart svar (0)

Svar #2
11. januar kl. 08:20 af Eksperimentalfysikeren

Hvis du skal finde nulpunkter for funktionen, er det let gjort. Værdimængden for sinus er [-1;1]. Derfor er værdimængden for 3*sin(2x) [-3;3] og for 3*sin(2x)+7 [4;10]. Da 0 ikke er element i det sidste interval, er der ingen nulpunkter.


Svar #3
11. januar kl. 14:48 af Sluntegøj

#1

Jeg glemte at nævne, at det er ligningen f(x)=8,5 som skal være i intervallet x∈[0;2π]

Så den her ligning 3sin(2x)+7=8,5 ønsker jeg at løse i hånden og ikke vha CAS


Brugbart svar (0)

Svar #4
12. januar kl. 20:19 af Eksperimentalfysikeren

Start med at trække 7 fra på begge sider af lighedstegnet. Divider så med 3 på begge sider af lighedstegnet.

Herefter har du en ligning af formen sin(y) = k. Find de mulige værdier af y og regn så x ud.


Svar #5
12. januar kl. 20:24 af Sluntegøj

Ja jeg får ligningen sin(2x)=0,5 hvad så nu? Er ikke helt med på sin(y)=k


Brugbart svar (0)

Svar #6
12. januar kl. 21:59 af Eksperimentalfysikeren

De to ligninger er af samme form. y er blot en skrivemåde for 2x og k for 0,5. Jeg ville ikke skrive sin(2x) = 0,5, før du selv havde regnet det ud, for det lærer du ikke noget af.

Du skal altså i første omgang finde de værdier af 2x, der giver 0,5, når man tager sinus til dem.

Tegn et koordinatsystem (med en u-akse og en v-akse, for vi har jo brugt x og y) med enhedscirklen. Tegn heri linien v = 0,5. Den skærer enhedscirklen i to punkter, P og Q, hvor P er på den højre side af v-aksen. liniestykket OP, hvor O=(0,0), danner så vinklen 2xP med u-aksen og tilsvarende OQ vinklen 2xQ med u-aksen.

Symmetrisk med P om u-aksen har du P'. Du kan se af figuren, at længden af PP' er 1. Det er radius også, da det er en enhedscirkel, så trekant OPP' er ligesidet. Derfor er dens vinkler all 60 grader, hvilket er det samme som π/3 radianer. Da vinkel O deles ligeligt af u-aksen, er den søgte vinkel halvdelen af dette, så 2x = π/6 og derfor x = π/12.

Hermed har du den ene værdi. Du undersøger selvfølgelig , om den er i det opgivne interval. Gør nu det samme med Q og husk, at du muligvis kan finde adre værdier, fordi sin(2x+2pπ) = sin(2x), hvor p er hel.


Skriv et svar til: Trigonometriske funktioner - løsning af ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.