Matematik

Sandsynlighedstætheden

20. januar 2017 af Rossa

Hej Derude.
Jeg arbejder med en opgave, som er mega svært at løse. Jeg har også arbejdet med min gruppe, med vi var ikke i stand til at løse opgaven.
Vil nogen derude hjælpe med opgaven?

Opgaven lyder.:
$p(x,y) = \begin{cases} x e^{-x}& \text{ } 0 < x, 0<y<1 \\ 0& \text{ } ellers \end{cases}$

a) Her har jeg vist Vis, at p(x, y) er en sandsynlighedstæthed.

Lad (X,Y) være en to-dimensional kontinuert stokastisk vektor med simultan sandsynlighedstæthed
p(x, y).

b) Vis, at X og Y er uafhængige, at X er gammafordelt med formparameter 2 og skalaparameter 1, samt at Y er ligefordelt på (0,1).

Her har jeg den halve del af løsningen:
$g(x)=\int_{0}^{1} x e^{-x} dy= x * e^{-x}$

$g(y)=\int_{0}^{ \infty} x e^{-x} dx = 1$
Altså er $g(x) \ g(y) = p(x,y)$

Her er X og Y er uafhængige.
Her kan jeg ikke vise at X er gammafordelt med formparameter 2 og skalaparameter 1, samt at Y er ligefordelt på (0,1).

(c) Undersøg om X^-1 har middelværdi, og find middelværdien, hvis den eksisterer.

Hvad er $X^{-1}$ for at jeg kan bestemme middelværdien?

(d) Find sandsynlighedstætheden for U = log(Y/(1−Y)).

(e) Find sandsynlighedstætheden for Z = XY.

Jeg håber, at nogen vil kigge på opgaven, og hjælpe mig så meget I vil/kan, (punktvis).
Jeg beder hjælp også de studerende, der har løst den gammel eksamens opgave.

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. januar 2017 af peter lind

Du har jo fundet at tæthedsfunktionen for x er xe^-x. Dette er netop tæthedsfunktionen for gammafordelinge med formparameter 2 og skalaparameter 1. se evt. den generelle tæthedsfuktion på https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

c) X^-1 er den variabel du får hvis du i stedet for et udfald x betragter det som at du har fået udfaldet 1/x. Middelværdien finder du som ∫x^-1*g(x)dx

d) Det er nemmest først at finde fordelingsfunktionen. P(Y/(1-Y)) < u) = P(Y < u(1-Y) = P( Y(1+u) < u) = P(Y < u/(1+u) ) Du kan så foretage integrationen af g(y) over definitionsområdet for g(y) men yderligere begrænset af uligheden med u. Det bemærkes at 1-y ikke kan blive negativ, så du skal ikke vende ulighedstegnet når du ganger over

e) klares på lignende måde her finder du fordelingsfunktionen af P(X*Y < z) =

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. januar 2017 af LeonhardEuler

d) Du kan med fordel benytte transformationssætningen.

e) Benyt den simultanefordeling til at bestemme hvornår xy < z og integrer over disse grænser.

Svar #3
21. januar 2017 af Rossa

# 1 Tak for hjælpen i (b) og (c)

Det er (d), der er jeg ikke helt med, og (e) er det umuligt at forstå i øjblikket.

#2
Jeg benyte transformationen, ved at bruge følgende definition:
$h(y)=\begin{cases} f (g^{-1})) \ |(g^{-1})'(y)|& \text{ } y \in J \\ 0 & \text{ } ellers \end{cases}$

Her får jeg:

$g^{-1}= \frac{e^u}{e^u+1}$

$f(g^{-1}(y))= ln(\frac{\frac{e^u}{e^u+1}}{1-\frac{e^u}{e^u+1}})$ .
Når jeg ganger funktionerne sammen, så bliver alt for kompliceret.

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. januar 2017 af peter lind

d) Beklager jeg ikke fik ikke logaritme funktionen med i d.

Hvis du havde brugt integrationsmetoden havde du fundet ∫₀^inv(g)dy= g^-1.

e) Du skal integrere p(x,y) over området bestemt af x> 0 0<y<1 og x*y<z. Du finder nemmest integrationsområdet ved at lave en graf af området

Skriv et svar til: Sandsynlighedstætheden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.