Matematik

Analyse 0 grænseværdi og kontinuitet

16. februar kl. 15:59 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

Hej hjælpere. Jeg har tre opgaver jeg bare ikke kan komme videre med:

Jeg håber nogen derude vil hjælpe mig videre med dem, da jeg ikke selv kan finde hoved og hale i det. Jeg kan fortælle så meget, at "spillereglerne" i selve opgavesættet er:

Mvh Kasper


Brugbart svar (0)

Svar #1
16. februar kl. 17:32 af janhaa

1h)

cosh(x) --> infty when x --> infty

and lg(cosh(x)) --> infty when x--> infty

x --> faster to infty than lg(cosh(x))

so (x - lg(cosh(x))) --> infty when x --> infty

1i)


Brugbart svar (1)

Svar #2
16. februar kl. 17:44 af janhaa

1i)

kan skrives:

\frac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}= \frac{2}{1+\frac{1}{e^{2x}}}

når x--> infty vil brøken = 2, dvs:

\lim_{x\to\infty}\frac{1-\tanh(x)}{e^{-2x}}= 2


Svar #3
16. februar kl. 22:36 af KaspermedK

Jeg kan som sådan godt se hvad du gør i 1i) men jeg forstår slet ikke det du gør i 1h) og hvilken metode bruger du? Vi må nemlig ikke bruge differentialregning


Brugbart svar (1)

Svar #4
17. februar kl. 02:00 af AskTheAfghan

h) Du har faktisk f(x) = log(ex/cosh(x)) = log(2) - log(1 + e-2x) for alle x. Man har omskrevet noget på højresiden. Nu skal du blot undersøge log(1 + e-2x) for x → ∞.


Svar #5
17. februar kl. 13:16 af KaspermedK

Mange tak AskTheAfghan, men hvordan er du kommer fra log(ex/cosh(x)) til log(2) - log(1 + e-2x)? Og den der springer mest i mine øjne er log(2) fordi hvis jeg lige tjekker i Maple, så når  x → ∞ får jeg nemlig log(2). Det der matematisk analyse er ret nyt for mig, så jeg har en lille smule svært ved at finde hoved og hale i det der sker. Håber du vil hjælpe mig.


Brugbart svar (0)

Svar #6
17. februar kl. 15:01 af Soeffi

#0 1(h): x - ln(cosh(x)) = x - ln((ex+e-x)/2) = x - [ln(ex+e-x)-ln(2)] → x - [ln(ex)-ln(2)] = x - [x - ln(2)] = ln(2) for x → ∞, idet e-x → 0 for x → ∞.


Svar #7
17. februar kl. 15:08 af KaspermedK

Jeg var faktisk nået (næsten) hen til det samme som dig, #6, men må du gerne bare sige, at ln(e^x+e^{-x}) \rightarrow ln(e^x)?


Brugbart svar (0)

Svar #8
17. februar kl. 16:27 af Soeffi

#7 Man kan vel sige, at... 

limx → ∞ ln(ex + e-x) = limx → ∞ ln(ex) = limx → ∞ x, da e-x → 0 for x → ∞.


Brugbart svar (0)

Svar #9
17. februar kl. 17:14 af AskTheAfghan

#5     Her er x = log(ex). Derfor er f(x) =log(ex) - log(1/(cosh(x))) = log(ex/cosh(x)). Idet ex/cosh(x) = ex/((1/2)(ex + e-x)) = 2/(1 + e-2x), har vi endelig f(x) = log(2) - log(1 + e-2x).

I delopgave j, er det nok med at tjekke x → ∞ (hvorfor?). For at undersøge grænseopførslen, må du starte med at omskrive cosh(x)/(1 + cosh(x)), ligesom før. Derefter benytter du regneregler for logaritmer.


Brugbart svar (0)

Svar #10
20. februar kl. 17:28 af Oatmeal

1(j)   Jeg har bestemt grænseværdierne til 0 fra begge sider. Hvordan viser man, at f(x)\geq 0 for x\in\mathbb{R}}?


Brugbart svar (0)

Svar #11
20. februar kl. 21:46 af AskTheAfghan

#10     Du kan prøve anvende uligheden om den nedre grænse for den (naturlige) logaritme.


Skriv et svar til: Analyse 0 grænseværdi og kontinuitet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.