Matematik

Etabler ulighederne i analyse 0

17. februar kl. 12:51 af Sluntegøj - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal etablere ulighederne:

Er der nogen der kan give råd og hjælp til denne opgave? Eksemplet i bogen er:


Brugbart svar (0)

Svar #1
17. februar kl. 17:40 af AskTheAfghan

Det sidste billede viser, at |ex - 1| < 3|x| for x < 1/2. Du kan godt bruge denne ulighed for |x| < 1/2. Du har 2sinh(x) = ex - e-x = (ex - 1) - (e-x - 1). Benyt nu trekantuligheden, og den ulighed du skal bruge.


Svar #2
17. februar kl. 19:49 af Sluntegøj

Men hvordan får du:

2sinh(x)=ex-e-x=(ex-1)-(e-x-1)

Og det er trekantsuligheden jeg kun skal bruge, ikke sandt?


Brugbart svar (0)

Svar #3
18. februar kl. 08:28 af JohnForbesNash

For |cosh x - 1|

Vil det så være:

2\cosh x-2=e^x+e^{-x}-2=(e^x-1)+(e^{-x}-1)

For jeg kan simpelthen ikke etablere en ulighed (e-x - 1) ≤ 3|x|

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #4
18. februar kl. 08:46 af JohnForbesNash

Jeg gør ligesom med |sinh x| bare med omvendt fortegn.

\\ 1+x\leq e^{x}\leq \frac{1}{1-x}\\ 1-x\leq e^{-x}\leq \frac{1}{1+x}\\ -x\leq e^{-x}-1\leq -\frac{x}{1+x}\\ |e^{-x}-1|\leq \max\left\{\left|-x\right|,\left|\frac{-x}{x+1}\right|\right \}\leq |x|+\frac{\left|x\right|}{x+1}=|x|\left(1+\frac{1}{x+1} \right )

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #5
18. februar kl. 09:02 af JohnForbesNash

Hov... Vent lidt.. Den maksimale værdi er også 3... Jeg skulle bare have undersøgt for -0.5 :)

- - -

Mvh Dennis Svensson


Svar #6
18. februar kl. 12:39 af Sluntegøj

Jeg kan simpelthen ikke finde hoved og hale i det, har du formået at se fidusen i den, #5?


Brugbart svar (0)

Svar #7
18. februar kl. 17:10 af AskTheAfghan

#2     Se på definitionen for sinh. Her er |(ex - 1) - (e-x - 1)| ≤ |ex - 1| + |e-x - 1| for alle reelle x. Dette kommer fra trekantuligheden. Benyt nu uligheden fra billede nr 2. Husk nu, at billedet nr. 2 gælder for alle x i (-∞,1/2), så burde den også gælde for alle x i (-1/2,1/2), idet (-1/2, 1/2) ⊆ (-∞,1/2). Specielt er |e-x - 1| ≤ 3|-x| = 3|x| for alle |-x| = |x| < 1/2.

#3-5     Korrekt. Nu er 2|cosh(x) - 1| ≤ |ex - 1| + |e-x - 1| for alle x. Kig på den ovenstående tekst.


Brugbart svar (0)

Svar #8
18. februar kl. 22:54 af Oatmeal

#7  Hvordan får du  |(ex - 1) - (e-x- 1)| ≤ |ex - 1| + |e-x - 1|  af trekantsuligheden? Hvordan bliver - på venstre side af ulighedstegnet til + på højre side?


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. februar kl. 10:03 af JohnForbesNash

Trekantsuligheden siger netop at |a+b| er mindre eller lig med |a|+|b|
- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (0)

Svar #10
19. februar kl. 10:34 af JohnForbesNash

|(exp(x) - 1) - (exp(x) - 1)| =
|(exp(x) - 1) + (-(exp(x) - 1))|

Nu kan du anvende trekantsuligheden og du får

|(exp(x) - 1)| + |(-(exp(x) - 1))| =
|(exp(x) - 1)| + |(exp(x) - 1)|
- - -

Mvh Dennis Svensson


Skriv et svar til: Etabler ulighederne i analyse 0

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.