Fysik

Opvarmning af ledning

24. februar 2017 af Kristensenalex - Niveau: B-niveau

Et kraftværk leverer elektrisk energi med en effekt på 60MW. Mellem forbrugeren
og kraftværket er der en 25 km lang kobberledning med et tværsnitsareal
på 120mm2. Effekten leveres ved en spændingsforskel på 132 kV.

Den tabte effekt afsættes som termisk energi i ledningen. Vi antager nu — i
øvrigt temmelig urealistisk — at al den afsatte elektriske energi alene går til
opvarmning af ledningen og ikke til omgivelserne.

Hvor stor bliver temperaturstigningen i ledningen, når energien afsættes
i en periode på en time?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. februar 2017 af mathon

Men effekten skal leveres i en 2 · (25 km) lang kobberledning, da der også skal være en 0-leder af samme længde mellem forbruger og kraftværk.

Brugbart svar (1)

Svar #2
24. februar 2017 af mathon

Men det kan selvfølgelig være, at afstanden mellem forbruger og kraftværk er 12,5 km, hvilket antages i det følgende.

Du har
$R=\rho_{Cu} \cdot \frac{L}{a}=\frac{U^2}{P_{tab}}$

$P_{tab}= \frac{a\cdot U^2}{L\cdot \rho_{Cu}}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. februar 2017 af mathon

$P_{tab}= \frac{\left (120\cdot 10^{-6}\; m^2 \right )\cdot \left (132\cdot 10^3\; V \right )^2}{\left (25\cdot 10^3\; m \right )\cdot \left (1{,}72\cdot 10^{-8}\; \Omega m \right )}=36{,}8372\; kW$

Brugbart svar (1)

Svar #4
24. februar 2017 af mathon

$P_{tab}\cdot t=m\cdot c\cdot \Delta T$

$\Delta T=\frac{P_{tab}\cdot t}{m\cdot c}$

$\Delta T=\frac{\left ( 36{,}8372\cdot 10^3\; \tfrac{J}{s} \right )\cdot \left ( 3600\; s \right )}{\left (\left ( 25\cdot 10^3\; m \right )\cdot \left ( 120\cdot 10^{-6}\; m^2 \right )\cdot \left (8{,}93\cdot 10^3\; \tfrac{kg}{m^3} \right ) \right )\cdot \left ( 390\; \tfrac{J}{kg\cdot C} \right )}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
24. februar 2017 af Eksperimentalfysikeren

Opgaven kan løses uden at se på længden af ledningen. Hvis ledningen bliver dobbelt så lang, vil dens modstand blive dobbelt så stor, hvorfor den afsatte varmemængde på en time bliver dobbelt så stor. Samtidig bliver den mængde kobber, der skal opvarmes blive dobbelt så stor, så temperaturstigningen bliver den samme. Derfor er det lettest at regne på 1m ledning.

Brugbart svar (1)

Svar #6
24. februar 2017 af mathon

eneste ændring bliver da:

$\Delta T=\frac{\left ( 1{,}47349\; \tfrac{J}{m\cdot s} \right )\cdot \left ( 3600\; s \right )}{\left ( \left ( 120\cdot 10^{-6}\; m^2 \right )\cdot \left (8{,}93\cdot 10^3\; \tfrac{kg}{m^3} \right ) \right )\cdot \left ( 390\; \tfrac{J}{kg\cdot C} \right )}$

Svar #7
24. februar 2017 af Kristensenalex

Kan det passe at temeraturstigningen er 12,693 C

Brugbart svar (1)

Svar #8
24. februar 2017 af mathon

Ja det passer!

Svar #9
24. februar 2017 af Kristensenalex

Mange tak for hjælpen :-)

Brugbart svar (1)

Svar #10
24. februar 2017 af Eksperimentalfysikeren

#9 Det er ikke U, du skal regne ud fra, men I. Tabet afhænger ikke af spændingsforskellen mellem lederne, men af strømmen gennem lederen. Du skal starte med at finde I som er:

I = P_kraftværk/U

R = L*ρ/a

P_tab = R*I² = L*ρ/a*I²

Energi til opvarmning med temperaturstigning t:

Q = t*m*C = t*ρ_m*L*a*C

Heraf: t = Q/(ρ_m*L*a*C)

Hvor ρ_m er kobbers massefylde og C er den specifikke varmekapacitet.

Da der varmes i en time gælder Q = P_tab*1h = P_tab*3600s

Samles udtrykkene sammen, fås

$t = \frac{L*\varrho *I^{2}*3600s}{\varrho _{m}*L*a^{2}*C}= \frac{\varrho *I^{2}*3600s}{\varrho _{m}*a^{2}*C}$

Heri kan du indsætte tallene.

Brugbart svar (0)

Svar #11
24. februar 2017 af hesch (Slettet)

#0:

#10 er rigtig. ( Mit brugbare svar ).

Jeg finder at 250K < ΔT < 300K ( bare som et hint, hvor vi er henne ).

Ved en sådan temperaturstigning, og med henseende til kobbers modstands temperaturkoefficient, bør man i høj grad medregne den øgede modstand og dermed den øgede effektafsættelse i ledningen grundet temperaturstigningen. ( Det er måske ligefrem opgavens pointe ).

Medregnes denne ændring i modstand grundet temperatur, er jeg bange for at ledningen er fordampet inden den time er gået. Men som en ekstra øvelse kan du jo regne efter. ( Google kobbers kogepunkt ).

Fænomenet kaldes på engelsk: "Thermal runaway", ( måske på dansk: "Termisk løben løbsk" ).

Brugbart svar (0)

Svar #12
24. februar 2017 af hesch (Slettet)

#11: Nej, den fordamper ikke efter èn time, men efter 2 timer, 15 min. ( med temperaturkoefficient ).

Vedhæftet fil:LEDNTMP.pdf

Skriv et svar til: Opvarmning af ledning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.