Bur med net over

Må du klippe nettet i mindre stykker ?

I så fald ville jeg klippe de 5 m² net op i fem
kvadratiske stykker, hver på 1 m², dermed
kan du lave en terning på 1 m³, hvor der er
net på de fem sider, - det må være det optimale.

Ja, man har bare 5m² i det hele.

#1:  Nej, så let slipper du ikke, for det er ikke en (symmetrisk) kubus, der er tale om:  Bunden har ikke net.

Beregner man arealforbrug af net findes:   ( B=bredde, L=længde, H=højde )

A  =  2BH + 2LH + 1BL = 5

I denne ligning er B og L fuldstændig symmetriske, og man kan derfor substituere:  B = L = S , S=sidelængde.

Således kan ligningen formuleres:  S² + 4HS - 5 = 0 , og maximere volumen:  V = HS².

Nu er jeg så ikke så skarp til matematik, og har derfor bekvemt valgt at foretage optimeringen numerisk:

-  Varier H fra 0,01mm til 10,00000 m    ( sandsynlig øvre grænseværdi for højden )
-  Find S ved løsning af 2. grads ligningen.
-  Beregn HS² = Volumen
-  Gem største volumen sammen med tilhørende S og H

Efter 2 sek. beregning finder min PC:

B = L = 1,29099 m ,  H = 0,64550 m

Volumen = 1 m³   1,07583 m³      ( min fremhævning ).

De numeriske beregninger i # 3 stemmer godt overens med de analytisk udledede beregninger, som dog
ikke er pensum på 9. klassetrin, men her bringes de alligevel.
Har valgt at sætte
længden = x
bredden = y
højden = z
Det fører til
2xz + 2yz + xy = 5  ⇒       ∧     V = xyz   ⇒  

Ved partieldifferentiation af V og sætte lig 0 , har vi to ligninger i x og z :
4xz + x² - 5 = 0  ∧  - 4 xz - 4z² + 5 = 0         ⇒

     som giver et maksimalt rumfang på 

Generelt kan udledes formlen for sammenhængen imellem overfladen af en kasse, minus bunden, og dens
maksimale rumfang.
Man har

            hvor p er overfladen af kassen, minus bunden.

Længden = bredden =     og højden er   
Man ser da, at højden altid er halvdelen af længden og dermed også halvdelen af bredden. 
 

Hvis spørger angiver niveauet korrekt (9. klasse), så synes jeg,
at det er en meget svær opgave, læreren har givet sine elever.
Jeg tvivler på, at partieldifferentiation (som anvendt i #4 af SuneChr) er pensum i folkeskolen ;)

#3:  Vedhæftet programdokumentation, for at fornemme kompleksiteten i den numeriske løsning, skulle der være en programmeringsnørd med interesse.

Sprog:  Borland Pascal ( oversættes nemt til fx C ).

#7