Matematik

Fourierrækker,

28. maj 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Derude. Jeg har en opgave med Fourierrækker, hvor en del af opgaven forvirrer mig, og en del af det, kan jeg ikke løse.
Opgaven er en gammel eksamensopgave i 2016.

Opgaven lyder:

g(x) = -\frac{x^2}{2} \ \text{for } \ x \ \in \ ]-\pi ; \ \pi \ [

OG

f(x) = \left\{\begin{matrix} -x & \text{for} \ x \ \in ] \ -\pi; \ \pi \ [ \\ 0 & \text{for} \ x= \pi \end{matrix}\right.

a)  Find Fourierrækken for den 2π-periodiske udvidelse \overline{f} af    f   , og find Fourierrækken for den 2π-periodiske udvidelse \overline\overline{g} af g

b)
 Vis, at Fourierrækken for \overline{g} konvergerer uniformt mod \overline{g}. Vis, at Fourierrækken for \overline{f} konvergerer punktvist mod   \overline{f}, men at konvergensen ikke er uniform.

Min forsøg for at finde koefficienterne fourierrækker,
Opgave a)
I min bog findes:
a_k (f)= \frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi } f(x) \ \cos(k \ x) \ dx \ \text{for} \ k \in \mathbb{N} \ \cup \{0\}

Altså:

a_k (g)= \frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi } \frac{-x^2}{2} \ \cos(k \ x) \ dx = - \frac{2}{2 \ \pi} \ \int_{0}^{\pi } x^2 \ \cos(k \ x) \ dx = \frac{(-1)^k}{k^2}
Er eninge med Maple, med ved ikke hvis det er rigtigt, da kan være også 0, og den modsrtider definitionen.
b_k (f)= \frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi } f(x) \ \sin(k \ x) \ dx \ \text{for} \ k \in \mathbb{N}

b_k (g)= \frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi } \frac{-x^2}{2} \ \sin(k \ x) \ dx = - \frac{2}{2 \ \pi} \ \int_{0}^{\pi } x^2 \ \sin(k \ x) \ dx = \frac{2 \ (-1)^k }{k^3}- \frac{\pi \ (-1)^k }{k}

Maple giver 0, og ved ikke hvorfor.
a_0 = \int_{-\pi}^{\pi} g(x) \ dx =- \frac{1}{3} \pi^3.

Problemmet er nu med f(x).
Her tænker jeg næsten det samme:

a_k (f)= \frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi } - x \ \cos(k \ x) \ dx = - \frac{2}{ \ \pi} \ \int_{0}^{\pi } x \ \cos(k \ x) \ dx
Jeg tænker også det samme b_k
b_k (f)= \frac{1}{\pi} \ \int_{-\pi}^{\pi } -x \ \sin(k \ x) \ dx = - \frac{2}{ \ \pi} \ \int_{0}^{\pi } x \ \sin(k \ x) \ dx
Hvad mangler man mere her, da f er en gaffelfunktion.

Med opgave b) har ikke nogle ideer, og håber at nogen vil hjælpe med opgaven.

På forhånd tak


 


Brugbart svar (0)

Svar #1
28. maj 2017 af VandalS

a)

Det sker ofte, at man bliver nødt til at regne Fourierkoefficienterne ud seperat for nogle særlige værdier af k. Specielt a_0 skal regnes ud på en anden måde fordi \cos(0\cdot x)=1. Undersøg derfor altid de værdier af k, der er udefineret, for sig.

Til din udregning af b_k(g) benytter du en regneregl for integralet af lige funktioner - den gælder ikke her, da integranden er en ulige funktion (den er produktet af en lige of en ulige funktion). Du kan i stedet benytte regnereglen for integralet af ulige funktioner, der siger, at det pågældende integral er nul. 

Når du skal udregne Fourierkoefficienter for stykkevise (gaffel) funktioner splitter du blot integralet op i de givne delintervaller og benytter den matchende funktionsforeskrift.

b)

På DTU laves sådanne opgaver ved at benytte resultater for restsummen |\bar{f} - F_n(f)|, hvor F_n er den n-te afsnitssum.


Skriv et svar til: Fourierrækker,

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.