Matematik

Konvergens

19. juni 2017 af sumia9 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Er der én der kan fortælle mig hvordan man helt præcis afgør om en følge er punktvis eller uniform konvergent. Jeg synes deres definitioner minder meget om hinanden og ved ikke helt hvordan jeg skal løse opgaver når der står "afgør punktvis/uniform konvergens" i et specifikt interval eller i hele R. 

Tak på forhånd


Brugbart svar (0)

Svar #1
19. juni 2017 af peter lind

Hvis den er uniformt konvergens er den også punktvis konvergent. Når en konvergent række ikke er uniformt konvergen opstår det typisk når det nødvendige store N går mod uendeligt som funktion af ε så du ikke kan finde et N der gælder for alle N. Rækken vil typisk være konvergent i et åbent interval, men ikke i det tilsvarende lukkede interval


Svar #2
19. juni 2017 af sumia9 (Slettet)

Men hvordan vurderer man om rækken er punktvis eller uniform konvergent?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. juni 2017 af peter lind

Jeg kan kun give et eksempel. Betragt punktfølgen an = 1/n. Den går mod 0 for n -> ∞. Du har |1/n-0| < ε  <-> n > 1/ε Så for et givet ε må du vælge et større n som kan blive vilkårligt stor men endelig


Brugbart svar (0)

Svar #4
20. juni 2017 af Brusebad

Uniform konvergens er defineret for funktionsfølger. Forskellen ligger i rækkefølgen af "kvantorerne". Lad {f_n} være en funktionsfølge defineret på X (delmængde af R) og med værdier i R.

- {f_n} konvergerer punktvis mod en grænsefunktion f(x) hvis der for alle x i X gælder at f_n(x) konvergerer mod x. (Her må du altså sætte dit x ind funktionerne og derefter skal du vise at for et givet e > 0 så findes et N så hvis n > N så er |f_n(x) - f(x)| < e )

- {f_n} konvergerer uniformt mod en grænsefunktion f(x) hvis der for et givet e > 0 findes et N > 0 så der for alle n > N gælder at |f_n(x) - f(x)| < e for alle x i X. (Her må du IKKE sætte x ind først. Du skal derimod finde et N så uanset hvilket x du sætter ind, så gælder udsagnet så længe n > N).

For at vise uniform konvergens kan man ofte bruge Weierstrass M-test.


Brugbart svar (0)

Svar #5
20. juni 2017 af Number42

Enhver punktvis konvergent kontinuerlig funktionsfølge (i et interval) resulterer i en funktion g(x) som dannes at de værdier funktionsfølgen konvergerer imod.

Denne funktion en imidlertid ikke nødvendigvis konvergent i intervallet. Hvis  og kun vis den er konvergent så er funktionsfølgen uniformt konvergent.

Eksempel: f(x) = (x-1)^n i intervallet ]0,2]  konvergerer mod 0 i intervallet ]0,2[ men for x=2 mod 1

Grænse funktionen g(x) = 0 for x  i  ]0,2[  og = 1 for x=2 er ikke konvergent og derfor er funktionsfølgen ikke uniform konvergent


Skriv et svar til: Konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.