Matematik

Punktvis konvergens fourierrækker

20. juni 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude, jeg er i gange med en opgave, som ser svært ud.

Opgaven lyder:
Lad:
f(x)=\left\{\begin{matrix} -x $\ \ x \in \]-\pi; \pi[\\ 0 \ \ \ \ \ $ x=\pi \end{matrix}\right.

g(x)= -\frac{1}{2} \ x^2 \ \ x \in ] -\pi ; \pi]

1. Vis, at Fourierrækken for \over{f}konvergerer punktvist mod \over{f}, men at konvergensen ikke er uniform.
2. Vis, at Fourierrækken for \over{g} konvergerer uniformt mod \over{g}
Koefficienterne for \over f er:
a_k = 0 \ \ a_0=0 og

 b_k = \frac{2 \ (-1)^k}{k^2}       og   c_k = \frac{i \ \ (-1)^k}{k^2}

For   \over g

 b_k = 0

a_k = \frac{2 \ (-1)^{k+1})}{k^2}      og a_0 = -\frac{1}{3} \pi^2
Jeg har lidt svært med (1), men 2 kæmper jeg, men hvis nogen derude har lyst til at hjælpe, så vil jeg ønske få hjælp med (1).
På forhånd tak.

 


Brugbart svar (0)

Svar #1
21. juni 2017 af Number42

Hvis du ellers retter koefficienter så de bliver rigtige så er 1 meget klar.

Fourierrækken convergerer mod en kontinuert funktion medens f(x) åbenbart er diskontinuert.KOnvergensern er derfor ikke uniform


Brugbart svar (0)

Svar #2
21. juni 2017 af peter lind

1. For x= π haves bk=2*(-1)k/k*cos(kπ) = 2/k  d.v.s. at rækken heller ikke er punktvis konvergent

2.  |2(-1)k+1/k2*cos(nx)| ≤ 2/k2  som er en kendt konvergent række. Rækken er altså absolut konvergent og dermed også uniform konvergent.

En sætning siger ar hvis funktionen er differentiabel er dens fourierrække også uniform konvergent


Brugbart svar (0)

Svar #3
22. juni 2017 af Number42

1. for x = π haves bk= 2 (-1)k / k Sin(k π) = 0

" Fourierrækken convergerer mod en kontinuert funktion medens f(x) åbenbart er diskontinuert.Konvergensern er derfor ikke uniform" er noget ævl , det gik for stærkt:

Fourierrækken konvergerer mod en diskontinuert funktion. og er derfor ikke uniform, skulle der have stået.

Uniform konvergens kræver at rækken af funktioner der er kontinuerte og som konvergerer punktvist SKAL konvergere til en kontinuert funktion.

Det er meget nemt at indse:

Punkterne som funktionsfølgen følgen konvergerer imod definere en funktion , kald den g(x).

Hvis der ikke var et krav om at g(x) skulle være kontinuert så ville alle punktvis konvergerende funktionsfølger være uniforme.


Skriv et svar til: Punktvis konvergens fourierrækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.