Forskel på epsilon-delta definition og en fra DTU e-noter

kan heller ikke finde nogen hjemmeside eller forum hvor de omtaler epsilonfunktioner på engelsk, hvordan kan det være? 

Den formelle definition af kontinuitet du tænker på, har med ε-δ at gøre. Det er helt forståeligt. Men den her definition har linket ikke valgt at tage udgangspunkt i. Hvis du blander de to ting sammen, definitionerne af ε-funktion og ε-δ, så bliver man usikker på hvilket symbol ε repræsenterer, f.eks. den omformulerede ε-funktion vil så betyde, at ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x : ( |x - 0| <δ ⇒ |ε(x) - 0| < ε ).

Du kan starte med at kigge på den uformelle definition, og så har linket ændret en smule af det. Du ved først og fremmest, at f(x) siges at være kontinuert i x = x₀, hvis f(x) → f(x₀) for x → x₀. Den sidste er ækvivalent med, at f(x) - f(x₀) → 0 for x - x₀ → 0. Den alternative måde at formulere den uformelle definition på er at sige, at der skal findes en epsilon-funktion ε_f sådan f(x) - f(x₀) = ε_f(x - x₀).

De to definitioner er ækvivalente.

Jeg skriver e i stedet for epsilon fordi det er nemmere.

Hvis du kigger på definitionen af epsilon-funktioner i DTUs noter så siger den at e(x) er en epsilon funktion hvis e(0) = 0 og for alle k > 0 så findes et K > 0 sådan at hvis |x| < 1/K så er |e(x)| < 1/k.

Hvis du kigger på definitionen af kontinuitet i DTUs noter så har vi at f er kontinuert i x0 hvis f(x) - f(x0) = e(x - x_0) . Det betyder ifølge ovenstående definition (af epsilon-funktioner), at der i så fald for hvert k > 0 findes et K > 0 sådan at hvis |x - x_0| < 1/K så er |f(x) - f(x_0)| = |e(x - x_0)| < 1/k.

Hvis du sætter epsilon = 1 / k og delta = 1 / K så ligner ovenstående til forveksling den "almindelige" epsilon-delta definition.

Tak for svaret. Er dog stadig usikker på hvordan de præcis ligner hinanden. Kan stadig ikke se sammenhængen :/

Hvordan er epsilonfunktion ækvivalent med delta epsilon definitionen?

Synes bare det mærkeligt jeg ikke kan se nogen på internettet bruge epsilonfunktioner på lige præcis den måde for at definere kontinualitet og senere hen differentiabilitet. Kan i finde et link hvor de to begreber bliver defineret på den måde, udover DTUs noter? Har stadig ikke set lyset endnu ;(

En epsilonfunktion er ikke som sådan ækvivalent med epsilon-delta definitionen af kontinuert. Men hvis man kigger på DTU-definitionen ( = "DTU-kontinuitet"), så gør den brug af epsilonfunktioner til at definere kontinuitet, og DTU-kontinuitet er ækvivalent med epsilon-delta kontinuitet. Det er den fordi hvis en funktion er DTU-kontinuert så er den epsilon-delta kontinuert og hvis funktion er epsilon-delta kontinuert så er den DTU-kontinuert (det kræver selvfølgelig et bevis! ).

Mere generelt så kan du tænkte på en definition def 1 og en definition def 2 som ækvivalente hvis et objekt der falder ind under def 1 også automatisk (igen retfærdiggjort med et bevis) falder ind under def 2 og omvendt (hvis def 2 er opfyldt så er def 1 også). Dvs. def 1 hvis og kun hvis def 2.

Når man laver matematik så definerer man forskellige matematiske objekter. Herefter viser man gerne, at ens definitioner var gode i den forstand, at der faktisk findes objekter der falder ind under definitionen. F.eks. er det ret væsentligt, at der findes kontinuerte funktioner, ellers ville vores diskussion lige nu, ikke være så betydningsfuld. Så kan man fortsætte og vise nogle resultater som følger af ens definitioner, man viser f.eks. gerne at hvis f : [a, b] -> R er kontinuert (epsilon-delta) og f(a)f(b) < 0 (altså f(a) og f(b) har forskelligt fortegn) så findes et c i [a, b] så f(c) = 0. Sådan kan man forsætte med at undersøge egenskaber ved kontinuerte funktioner.

På et tidspunkt kan man spørge sig selv, om det omvendete gælder. Altså om en egenskab ved en kontinuert funktion kendetegner en kontinuert funktion "så meget", at hvis en funktion besidder denne egenskab kan vi så vide, at funktionen er kontinuert? Det kunne f.eks. være at hvis f : [a, b] -> R er en funktion med f(a)f(b) < 0 og vi ved, at der findes et c i [a, b] så f(c) = 0, er f så kontinuert? Svaret her er nej. For endeligt at fastslå dette, så ville man finde et modeksempel, altså en funktion der opfylder betingelser, men som ikke er kontinuert.

I sin søgen efter egenskaber ved kontinuerte funktioner ville man (måske) på et tidspunkt finde ud af, at der for funktion f der er kontinuert i x0 ville gælde at f(x) - f(x0) = e(x - x0). Hvis man så spurgte sig selv her om det omvendte gjaldte, så ville svaret være ja. Nemlig, at hvis der for en funktion f gælder, at f(x) - f(x0) = e(x  - x0) så er funktionen kontinuert i x0. Når man har vist sådan en biimplikation (hvis og kun hvis / man kan gå begge veje), så (som jeg indledningsvist snakkede om) vil en funktion f der er DTU-kontinuert også være epsilon-delta kontinuert og derfor vil alle resultater der er vist ved brug af epsilon-delta kontinuitet også gælde for funktioner der er DTU-kontinuerte. Tilsvarende vil alle resultatere der er vist ved brug af DTU-kontinuitet også gælde for funktioner der er epsilon-delta kontinuerte, fordi de er også DTU-kontinuerte.

På grund af dette, så kan du definere kontinuitet som DTU har gjort eller du kan definere kontinuitet som alimindelig epsilon-delta, men det gør ingen forskel fordi du "ender" med at få de samme resultater for kontinuerte funktioner uanset hvilken definition du starter med.

At bevise at de rent faktisk er ækvivalente er så en anden sag. Det er ikke så svært, og selvom jeg ikke helt har gjort det i #3, så var #3 et forsøg på at (over)bevise dig om, at der ikke var ret stor forskel på de to definitioner. Hvis du gerne vil bevise det formelt så kan du evt. kigge på #3, og se om du kan ufylde de manglende dele :

DTU-kontinuitet => epsilon-delta kontinuitet

Antag f er DTU-kontinuert og lad epsilon > 0 være givet.
......
Vælg delta > 0 så .....
......
......
dvs. hvis |x - x0| < delta så er |f(x) - f(x0)| < epsilon. (Så f er epsilon-delta kontinuert)

epsilon-delta kontinuitet => DTU-kontinuitet.
Antag f er epsilon-delta kontinuert.
Kig på e(x - x0) = f(x) - f(x0).
Brug at f er epsilon-delta kontinuert (i x0) til at vise, at e(x - x0) er en epsilon funktion.
 

De er ikke identiske; men der er godt nok en sammehæng

I wikipdias definition er ε og δ tal. Du kan komme så tæt på en grænseværdi som du ønsker symboliseret ved taller ε blot du vælger et tal δ som  en ulighed skal være mindre end. Det er den grundlæggende definition og sikkert også den du har mødt i gymnasiet. Der er ikke nødvendigvis sådan at grænseværdien skal være 0

DTU's definition af ε er en funktion som gør brug af grænseværdien defineret ovenfor. Den siger at en ε funktion er en funktion der går mod 0 for variable gående mod 0. ε funktionen er nødvendig til at definere at en funktion af flere variable er differentiabel, så det er ikke bare en ligegyldig omformulering

Tusind tak for de dybdegående svar, jeg tror jeg er ved at fange pointen. Jeg har forsøgt mig med at færdiggøre de to skabeloner for beviser du har lavet i #7

DTU-kontinuitet => epsilon-delta kontinuitet

Antag f er DTU-kontinuert og lad epsilon > 0 være givet.

......

Vælg delta > 0 så ved vi ud fra at f er DTU-kontinuert, at der for hvert k >0 findes et K > 0, sådan at |x - x_0| < 1/K så er |f(x) - f(x_0)| = |e(x - x_0)| < 1/k.

Hvis vi så skifter 1/K ud med delta og 1/k med epsilon, så får vi:

hvis |x - x_0| < delta så er |f(x) - f(x_0)| = |e(x - x_0)| < epsilon

......

det vil altså sige, at hvis |x - x0| < delta så er |f(x) - f(x0)| < epsilon. (Så f er epsilon-delta kontinuert)

epsilon-delta kontinuitet => DTU-kontinuitet.

Antag f er epsilon-delta kontinuert.

Kig på e(x - x0) = f(x) - f(x0).

Brug at f er epsilon-delta kontinuert (i x0) til at vise, at e(x - x0) er en epsilon funktion:

Hvis vi ved at f er epsilon-delta kontinuert i x0, så kan vi vise e(0) = 0 ved at lade x gå mod x0. Så vil der komme til at stå e(x-x0) = f(x)-f(x0)  for x -> x0 => e(0) = 0, ergo er e(x-x0) en epsilon funktion

----- 

Er det den rigtige fremgangsmåde jeg har benyttet mig af i beviset?

Det, at jeg ikke har kunne finde nogle engelske hjemmesider med DTU-definitionen er nok det der har gjort mig mest forvirret, for hvis jeg havde kunne finde en engelsk version af denne måde at definere kontinuitet på, så ville jeg bare sluge det råt og ikke stille spørgsmålstegn ved sammenhængen mellem DTU-definition og epsilon-delta.  Jeg synes jeg fandt en PDF da jeg surfede efter et svar på mit spørsgmål, hvor i der stod, at det mest var i Danske lærebøger at man benytter denne definition, altså DTU-definitionen på kontinuitet hvor i man indrager epsilonfunktioner, kan dette passe? Og hvis ja, hvorfor benytter man sig så kun af denne definition i Danmark? Har stadig heller ikke kunne finde noget litteratur på den engelske side af internettet hvor i begrebet "epsilon-funktion" bliver brugt. Det forekommer mig meget mystisk.

Mvh 

nej. Det er helt misforstået. Kontinuert er defineret ved ε-δ definitionen så det er meningsløst at skulle bevise den

#9 Det forstår jeg godt. Det villle helt sikkert være rart, hvis man kunne finde steder på nettet hvor det er defineret som DTU har gjort. Jeg kan heller ikke huske, at jeg selv skulle have set det defineret sådan før. Hvorfor DTU lige har defineret kontinuitet på denne måde ved jeg ikke, men det er rimelig nemt, at se at de to definitioner (DTU-kontinuitet og epsilon-delta kontinuitet) er ækvivalente (hvor ækvivalent skal forstås som jeg har forsøgt at forklare i #7), derfor kan jeg kun sige, at det ikke er noget du skal tillægge så stor betydning.

Mht. beviserne så er det et godt forsøg, men man skal passe lidt på med hvornår man kan / må vælge de forskellige ting. Jeg tror måske at min besked i #3 forvirrede mere end den gavnede. Det var nemlig ikke et formelt bevis, men mere "se definitionerne er ikke så langt fra hinanden". Jeg kan selv komme med et bud på hvordan jeg ville vise det formelt senere.
 

#10 Det står vel umiddelbart den arbejdende matematikker frit for at definere tingene som han/hun vil. En frihed som DTU har benyttet sig af. Hvis man definere kontinuitet som DTU har gjort, så er det ikke meningsløst at vise, at denne definition medfører epsilon-delta kontinuitet. En ret essentiel del når man definerer kontinuitet i et generelt topologisk rum er jo netop, at den stemmer overens med epsilon-delta kontinuitet i et metrisk rum.
Definerer du derimod kontinuitet som den noget oftere set epsilon-delta definition, så vil det selvfølgelig være meningsløst at vise epsilon-delta kontinuitet af en kontinuert funktion, for i en sådan situation vil  det jo naturligvis gælde per definition.

 

Brugen af ε funktionen er meget bekvem ved definitionen af differentiation af flere variable. Definitionen af ε funktionen forudsætter brug af ε-δ definitionen da den forudsætter definitionen af grænseværdi

Almindelig kontinuitet (  = epsilon-delta kontinuitet): En funktion f : (a, b) -> R er kontinuert i x0 hvis der for alle e > 0 findes et d > 0 så |x - x0| < d medfører at |f(x) - f(x0)| < e. (e for epsilon og d for delta).

Hvis f : (a, b) -> R er DTU-kontinuert i x0 så er f alm. kontinuert i x0. Vi skal altså vise ovenstående. Lad  e > 0 være givet. Da f er DTU-kontinuert i x0 så kan vi skrives f på formen f(x) = f(x0) + E(x - x0) hvor E er en epsilon-funktion. Lad nu K > 0 være et helt tal så 1/K < e. Da E er en epsilon funktion så findes et helt tal k > 0 så hvis |x-x0| < 1/k så er |E(x-x0)| < 1/K, men da f(x) = f(x0) + E(x - x0) giver det os, at |f(x) - f(x0)| < 1/K når |x - x0 | < 1/k. 

Sæt nu d = 1/k. Da har vi for |x - x0| <  d = 1/k at |f(x) - f(x0)| < 1/K < e hvor den sidste ulighed følger af valget af K > 0.

Hvis f er almindelig kontinuert i x0 så er f DTU-kontinuert i x0. Vi skal vise at vi kan skrive f på formen f(x) = f(x0) + E(x - x0) hvor E er en epsilonfunktion.

Vi kan skrive f(x) som f(x) = f(x0) + f(x) - f(x0) (vi har lagt f(x0) til og trukket den fra igen). Det vil sige hvis f(x) - f(x0) er en epsilonfunktion så er vi færdige. Sæt E(x - x0) = f(x) - f(x0). For at vise, at det er en epsilonfunktion er der to kriterier:
(1) E(0) = 0
(2) Betingelsen med k'erne.
For betingelse (1) ser vi, at E(0) = E(x0 - x0) = f(x0) - f(x0) = 0.
For betingelse (2) lad K > 0 være givet. Vælg da e > 0 så e < 1/K. Da f er kontinuert i x0 så findes et d > 0 så hvis | x - x0 | < d så er | f(x) - f(x0) | < e. Men per valg af e og da E(x - x0) = f(x) - f(x0) så hvis vi vælger et helt tal k > 0 så 1/k < d så har vi at | x - x0 | < 1/k < d medfører at |E(x - x0)| = | f(x) - f(x0) | < e < 1/K, og følgeligt er E en epsilonfunktion og f er DTU-kontinuert i x0.
 

I forbindelse med de beviser du præsenterede, så er den her sætning lidt giftig:

"Hvis vi så skifter 1/K ud med delta og 1/k med epsilon, så får vi:"

Hvis delta er givet så må du ikke bare skifte det ud (jeg er med på, at det ligner lidt det jeg gjorde i #3, men det var jo som tidligere nævnt mere for at give en uformel intuition om hvor tæt de to definitioner var på hinanden). Det du kan gøre, og som jeg har gjort i ovenstående beviser, er at du kan vælge vælge et K så 1/K < delta.