Potensfunktioner: b?

b kan skam sagtens være negativ. I vedhæftede skitse er b=-3, så grafen går gennem punktet (1,-3).

Jeg tror sådan set ikke der er noget i vejen for at b er negativ. Det betyder blot at alle y-værdier for x > 0 bliver negative, og derfor er der sjældent eksempler fra virkeligheden hvor det er tilfældet - måske noget med temperaturer?

Her er et eksempel på

Det betyder også at betydningen af a er omvendt - positiv a betyder højere x => lavere y, og negativ a betyder højere x => lavere y.

Det beror på, hvad man forstår ved en potensfunktion.
Den generelle forskrift for en potensudvikling er
f (x) = bx^a    hvor   a ∈ R ,  b ∈ R₊  og   x ∈ R₊
Der skal gælde:
y = bx^a  ⇔  log y = log b  + a·log x
hvor definitionsmængden, som nævnt ovenfor, vil gælde.
For potensfunktionen er b = 1 og i øvrigt samme definitionsmængde for a og x.
Eksemplet i # 1 og 2 må nærmere være et tredjegradspolynomium, hvor alle led, undtagen tredjegradsleddet, er 0.  For reelle polynomier er eksponenterne hele positive tal og 0 , og koefficienterne kan være et hvilket som helst reelt tal.
 

I roder godt rundt i det og blander potensfunktion sammen med eksponentialfunktion. Derudover kan eksponentialfunktionen skrives på flere måder, f.eks. y = a*b^x og y = b*a^x, så spørgsmålet er meget upræcist.

For en potensfunktion y = a*xⁿ gælder, at a kan være vilkårlig og n skal være hel. Dog, hvis x er positiv, kan n være vilkårlig. Hvis n er negativ, kan x ikke være 0.

For eksponentialfunktionen y = a*b^x gælder, at a er vilkårlig, mens b skal være positiv, hvis der regnes i reelle tal. I komplekse tal skal enten x eller b være forskellig fra 0, men kan ellers være vilkårlig.

#4

I roder godt rundt i det og blander potensfunktion sammen med eksponentialfunktion. Derudover kan eksponentialfunktionen skrives på flere måder, f.eks. y = a*b^x og y = b*a^x, så spørgsmålet er meget upræcist.

For en potensfunktion y = a*xⁿ gælder, at a kan være vilkårlig og n skal være hel. Dog, hvis x er positiv, kan n være vilkårlig. Hvis n er negativ, kan x ikke være 0.

For eksponentialfunktionen y = a*b^x gælder, at a er vilkårlig, mens b skal være positiv, hvis der regnes i reelle tal. I komplekse tal skal enten x eller b være forskellig fra 0, men kan ellers være vilkårlig.

Spørgsmålet og dermed opfattelsen    for en potensfunktion, kommer af det vedhæftet link.. 

https://www.youtube.com/watch?v=liB0kI1iegA

Påstanden i videoen om, at b skal være positiv, er forkert. Derimod vil man normalt kræve, at a er positiv og hel, evt. 0. Derfor benytter jeg oftest n i stedet for a. Ved udregningen af xⁿ for givne værdier af x og n fremkommer et reelt tal, som jeg vil kalde u. Den sidste del af udregningen af funktionsværdien består i: y= b*u. Dette viser klart, at b kan være et vilkårligt reelt tal.

Man kan addere en række potensfunktioner, hvor eksponenterne er forskellige ikkenegative hele tal. Herved får man et polynomium, f.eks. P(x) = 2x³-4x² +17x¹-47x⁰.

Her vil man normalt benytte, at x¹=x og x⁰=1. Den form, jeg har vist i P, har speciel interesse, hvis man har et polynomium med koefficienter, der følger et mønster. I så fald kan man f.eks. skrive:

Funktionen f=bx^a eksisterer for a negativ og endda for a ikke hel. Der er dog så den begrænsning, at for a negativ og hel kan x ikke være 0 og for a ikke hel skal x være positiv, hvis resultatet skal være et rellet tal. Funktionen y=bx^-1 =b/x er et eksempel på det første, mens y=bx^½ = b*kvadratroden af x er et eksempel på det andet. Disse funtioner betegnes dog normalt ikke potensfunktioner.

For et rationalt tal a =     kan x være negativ, undtaget hvor p er ulige samtidig med q er lige.