Matematik

Problemer med: Heaviside step function And Dirac delta function

19. juli 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Derude.
Jeg skriver en projekt, hvor jeg møder  Heaviside step function og Dirac delta function.
Jeg læser på en artikel, hvor min projekt er baseret på, at

H(z)= \left\{\begin{matrix} 1 & \text{if} \ z \geq 0\\ 0 & \text{if} \ z < 0 \end{matrix}\right.        OG   \delta(z) = \frac{d}{dz} H(z)
Man kan se, at funktionen er ikke kontinuert i punktet 0, da den hoper fra 0 til 1, men artiklen forklarer ikke hvis z er en kontinuert variable eller en diskrete variable, som HELE-TAL.
Wikipedia viser, at z er en diskrete variable.

Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Heaviside_step_function
H[n]= \left\{\begin{matrix} 1 & \text{if} \ n \geq 0\\ 0 & \text{if} \ n < 0 \end{matrix}\right.
hvor n er en hel-tal.

Lad os sige ifølge artiklen, at:
H(z)= \left\{\begin{matrix} 1 & \text{if} \ z>0 \\ 1& \text{if} \ z=0 \\ 0 & \text{if} \ z< 0 \end{matrix}\right.

Sprøgsmål 1:    Hvad er \delta(z) ?
Er det

\delta(z) = \frac{d}{dz} H(z) = H(z)= \frac{d}{dz} \left( \left\{\begin{matrix} 1 & \text{if} \ z>0 \\ 1& \text{if} \ z=0 \\ 0 & \text{if} \ z< 0 \end{matrix}\right. \right) = \left\{\begin{matrix} 0 & \text{if} \ z>0 \\ \infty & \text{if} \ z=0 \\ 0 & \text{if} \ z< 0 \end{matrix}\right.


På Wikipedia er Heaviside step function defineret som:
H(x):= \frac{d}{dx} \max\{x,0\},    
og når x=0, så vil

 \frac{d}{dx}\max\{x,0 \} =0

Spørgsmål 2:
Hvorfor modsiger definitionen af  Heaviside step function  på wikipedia , det som min artikel introducerer for  Heaviside step function ?

På forhånd Tak


Brugbart svar (0)

Svar #1
19. juli 2017 af peter lind

Du blander det vist sammen

Diracs δ funktion er uendelig for x=0 og 0 ellers..Ikke alene er den uendelig men så uendelig at integralet over 0 er 1.Derved får du at dens stamfunktion er heavisidefunktionen

når funktion max{x, 0) differerentieres får du 1 får x>0 og 0 for x<0. Den er strengt taget ikke defineret for x=0 så med lidt god vilje får du heavisidefunktionen


Brugbart svar (0)

Svar #2
19. juli 2017 af Number42

Matematisk er det forkert at angive Diracs delta som dH/dz , men det er muligt at din opgavestiller ikke er klar over det.


Svar #3
20. juli 2017 af Rossa

#1
Det forstår jeg, blander det vist sammen.
Det er også  lidt  forvirrende synes jeg.
Det som står i Artiklen har jeg forklaret, og artiklen forkalrer ikke meget mere end det jeg har jeg forklaret herinde.
Har ikke forstået hvis z  er en kontinuert  eller diskrete variable. Wikipedia mener efter min forståelse, at variablen er diskrete.
Er det rigtigt eller forkert, det som jeg påstår i spørgsmål 1?

#2
Hvorfor er det matematisk forkert at angive Diracs delta som dH/dz?
Har du en version, der kan gør det mere matematisk rigtigt.
Artiklen generaliser lidt nogle matematiske idder, men jeg er opmærksom i det, men vil gerne gør det mere korrrekt, da min projekt fylder over halvdelen Matematik.
 


Brugbart svar (0)

Svar #4
20. juli 2017 af Brusebad

#3

Det afhænger af den konkrete kontekst, men jeg er ret sikker på, at z er en kontinuert (reel) variable. Jeg tror, at din forvirring (og muligvis også udsagnet i #2) opstår fordi der ikke er tale om "almindelig" differentiation. Dirac delta funktionen er (trods navnet) ikke (formelt set) en funktion, men en "distribution", også kaldet "a generalized function" hvorfor der med dH/dz menes en "distributional derivative".

Hvis du vil gå nærmere ind i det, så kan du læse om distributions. Wikipedia er altid et godt sted at starte

https://en.wikipedia.org/wiki/Distribution_(mathematics) 

Hvis du ikke kender så meget til det i forvejen, så kan du muligvis slippe afsted med at læse om weak derivatives der så vidt jeg ved er en smule mindre generelt.
 


Brugbart svar (0)

Svar #5
20. juli 2017 af hesch (Slettet)

#0:  Du skriver om z og H(z), men skriver egentlig ikke om du mener den z-transformerede af en funktion.
Hvis det er tilfældet anvendes denne transformation især indenfor digital reguleringsteknik.

Computere har en endelig regnehastighed, der bevirker at de ikke løbende kan beregne differentialligninger, idet disse dx'er er uendelig små, og en korrekt beregning af disse ville derfor kræve en uendelig hurtig computer.

Derfor beregner man i stedet differensligninger, med en endelig samplingsfrekvens. Er denne fx 100Hz andrager en samplingsperiode 0,01s , hvilket så er computerens opdateringsfrekvens. Den opdaterer sine udgange som funktion af de samplede værdier på indgangene til diskrete tidspunkter. Tiden mellem to diskrete opdateringstidspunkter ( samplingsperioden ) benytter computeren til sine beregninger. Så responsen på en ændring af indgangsværdier, er èn samplingsperiode forsinket.

En forsinkelse på èn periode angives ved at dividere med z eller ved at gange med z-1. Generelt kan man så angive en tidsforsinkelse på n perioder ved z-n.  n er et heltal, for med sin faste samplingsfrekvens, kan computeren ikke forsinke noget som helst fx 0,8 samplingsperioder. Det giver ikke mening.

En faktor  3z-4  betyder simpelthen at en given værdi ganges med 3 og forsinkes 4 samplingsperioder.

Lidt firkantet sagt erstatter z-1 i z-domænet dx i tidsdomænet.

En integration i z-domænet sker ved overføringsfunktionen:

H(z)  = Out(z) / In(z) = z-1 / ( 1 - z-1 )    →

Out(z) = z-1 * In(z) + z-1 * Out(z)

Integrerre du en puls i tidsdomænet fremkommer en stepfunktion.

Sætter du en puls på indgangen i H(z) ved In(z) = 0, 0, 0, 1, 0, 0, . . . .   fremkommer en stepfunktion:

Out(z) = 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, . . . . .      ( bemærk tidsforsinkelsen ).

Det giver ikke mening at tegne stepfunktionen ( med linier ), for imellem de diskrete samplingstidspunkter er der absolut ingenting, ikke engang værdien 0. Men du kan plotte funktionen.

Men altså z er en variabel, der giver udtryk for en tidsforsinkelse. Du kan kalde det en operator.


Brugbart svar (0)

Svar #6
20. juli 2017 af Number42

Hr. Heaviside havde meget lidt respekt for formel matematik.

Det lykkedes ham at stille sig op i en meget fin forsamling af fysikere og matematikere og sige:

Mine herrer, matematik er ligesom fysik en eksperimental videnskab.

Derefter blev han ikke mere inviteret mere og hans operator regning kritiseret sønder og sammen. ( Jo og han havde en vis tildens til at glemme integrationskonstanter).

Jeg er rimelig sikker på at han respektløst differentierede sin stepfunktion og kendte Diracs funktion længe før Dirac.

Alle kunne den gang se at Heaviside operator regning ikke duede så den gik næsten totalt i glemmebogen ( er jeg mon den eneste nulevende der har brugt hans operatorregning til at designe med ? Det var i slutningen af tresserne og fordi jeg havde læst en bog af en svensk professor som kunne lide den metode)

Senere viste det sig at forudsætningen for Heaviside operator regning var at funktionerne var kvadratisk integrabele ( medlem af et Hilbert rum) , hvilket er nøjagtigt den samme forudsætning for Laplaces metode og Fouriers. Vi kaldte dem uformelt fysiske funktioner før vi vidste det.

Det blev bevist i 1978 hvis jeg husker rigtigt.

Undskyld historie lektien, men det synes mere meningsfuldt at kende matematikkens historie end kongernes.







Brugbart svar (0)

Svar #7
20. juli 2017 af Brusebad

#0 Prøv evt. at sende et link til artiklen, så vil det være nemmere at hjælpe.


Brugbart svar (1)

Svar #8
21. juli 2017 af Eksperimentalfysikeren

z er et reelt tal. Det er ikke diskret (det skrives uden e til sidst), men kontinuert. Da jeg i sin tid lærte om deltafunktionen, blev den beskrevet som en grænsefunktion. Man benyttede er følge af funktioner af formen:

d_{a}(x) = \left\{\begin{matrix} 0 & for x<-a\\ 1/(2a) &for -a \leq x\leq a \\ 0& for x>a \end{matrix}\right.

Her lader man så a gå mod 0. Integralet er 1 for alle funtionerne og dermed også for δ(x).


Brugbart svar (0)

Svar #9
21. juli 2017 af Eksperimentalfysikeren

#6

Så vidt jeg husker indgik operatorregning i fysik 5, der var et videregående kursus i kvantemekanik på KU. Det var i 1975 eller 1976.


Brugbart svar (0)

Svar #10
21. juli 2017 af Number42

#9

Heaviside kendte ikke så meget til quantemekanik??

Siden har man jo indset at det alt sammen hænger sammen.

Det er bedre at sammenligne det med Laplace transformationen som svarer til at gå over åen for at hente vand sammenlignet med Heaviside.


Skriv et svar til: Problemer med: Heaviside step function And Dirac delta function

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.