Matematik

Bevis for stamfunktioner til f(x)=x^a

27. juli 2017 af randomdude11 (Slettet) - Niveau: B-niveau

funktionen f(x)=x^a, a\neq-1    har stamfunktionerne 
F(x)=\frac{1}{a+1}*x{^{a+1}}+k

Bevis: Da en funktion F ifl. definitionen er stamfunktion til funktionen f netop når F'(x)=f(X), så kan sætningen vises ved at differentiere F.

F'(x)=(\frac{1}{a+1}*x{^{a+1}}+k)' =(a+1)*\frac{1}{a+1}*x^{(a+1)-1}+0 =\frac{a+1}{a+1}*x^ a=1^x^a =x^a

spg:
1. {\color{Red} \frac{1}{a+1}}  Denne del af stamfunktionen  hvorfor bliver den ikke differentiret til -{ \frac{1}{(a+1)^2}}?

2. {\color{Red} a\neq-1}  Hvorfor må a  helt præcis ikke være -1?

3. Hvis nogen kan henvise til en video/side med détte eller beviset for Funktionen F(x)=e^{k*x} har stamfunktionerne F(x)=1/k*e^{k*x}+c 


Brugbart svar (0)

Svar #1
27. juli 2017 af Mathias7878

1. Når man differentierer f(x) = \frac{1}{x} fås f'(x) = -\frac{1}{x^2}

2. a må ikke være -1, fordi så står der -\frac{1}{(-1+1^2)} = \frac{-1}{0} og man må aldrig dividere med 0

- - -

 

 


Svar #2
27. juli 2017 af randomdude11 (Slettet)

#1

1. Når man differentierer f(x) = \frac{1}{x} fås f'(x) = -\frac{1}{x^2}

Yes men hvorfor er den del ikke differentieret i beviset.


Brugbart svar (0)

Svar #3
27. juli 2017 af Mathias7878

Udgangspunktet er jo det samme. Du har en brøk \frac{1}{a+1}, som nøjagtig er det samme som \frac{1}{x}, da du f.eks. kunne lade x være lig a+1, dvs x=a+1

Så skal du blot differentiere \frac{1}{x}, som tidligere nævnt giver -\frac{1}{x^2} og dermed -\frac{1}{(a+1)^2}

- - -

 

 


Brugbart svar (1)

Svar #4
27. juli 2017 af AskTheAfghan

1) Man differentierer 1/(a + 1) mht. x. Da den er uafhængig af x, er den konstant, og derfor må den differentierede funktion være 0.

2) Hvis a = -1, har man f(x) = 1/x, og derfor er F(x) = ln(x) + k. Hvis a ≠ 1, har man en hel anden form.

3) Du ved nok, at ∫ ex dx = ex + k. For at svare på dit spg., kan du blot benytte substitutionsmetoden.


Brugbart svar (1)

Svar #5
27. juli 2017 af SuneChr

# 0
Man benytter lejlighedsvis skrivemåden \frac{\textup{d}f(x)}{\textup{d}x}  eller  \frac{\textup{d}}{\textup{d}x}f(x)  for den afledede funktion til f(x) .
Her er det tydeliggjort, med brøken, at der er tale om en kvotient, nemlig differentialkvotienten til f(x)
"Nævneren"  \textup{d}x  tilkendegiver med x'et, at der er differentieret m.h.t. x.
Der gælder, når vi holder fast i denne skrivemåde:

\frac{\textup{d}}{\textup{d}x}\left ( \textup{k}\cdot f(x) \right )   =    \textup{k}\cdot \frac{\textup{d}}{\textup{d}x}f(x)    hvor k er en reel konstant og derved ikke afhænger af x.
 


Svar #6
28. juli 2017 af randomdude11 (Slettet)

#4

1) Man differentierer 1/(a + 1) mht. x. Da den er uafhængig af x, er den konstant, og derfor må den differentierede funktion være 0.

2) Hvis a = -1, har man f(x) = 1/x, og derfor er F(x) = ln(x) + k. Hvis a ≠ 1, har man en hel anden form.

3) Du ved nok, at ∫ ex dx = ex + k. For at svare på dit spg., kan du blot benytte substitutionsmetoden

 Tak for svar
3) Ja kan godt differentirere stamfunktionen. Det er blot fordi de to tilsammen, udgør mit eksamensspørgsmål. Synes bare det virker 'tyndt', så er nervøs for jeg har misset noget og der er mere til det.  


Brugbart svar (0)

Svar #7
28. juli 2017 af AskTheAfghan

#6     Man kan gøre det på en anden måde. Der forudsættes, at k ≠ 0. Sæt m = kx, så giver dx = (1/k) dm, og dermed er ∫ ekx dx = (1/k) ∫ em dm = (1/k) em + c = (1/k) ekx + c.


Skriv et svar til: Bevis for stamfunktioner til f(x)=x^a

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.