Matematik

Separation af de variable

15. august 2017 af Sinimini (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg skal bruge separation af de variable til at løse ligningen:

y'=x*y

Hvordan skal jeg starte?


Brugbart svar (0)

Svar #1
15. august 2017 af mathon

              \frac{1}{y}\, \mathrm{d}y=x\, \mathrm{d}x


Svar #2
15. august 2017 af Sinimini (Slettet)

Hmm, hvordan kommer du frem til det?


Brugbart svar (1)

Svar #3
15. august 2017 af fosfor

Ved separation startes med at samle x'er på en side og y'er på en side
\frac{1}{y}y' = x

Bemærk at venstresiden er differentialkvotient til  \ln(y) (se evt. nederst), hvorfor integration giver
\ln(y) = \frac{1}{2}x^2 +k

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Med kædereglen fås ved differentation af ln(y(x)):

\frac{d}{dx}\ln(y(x)) = \frac{1}{y(x)}y'(x)


Brugbart svar (0)

Svar #4
15. august 2017 af janhaa

y'=x*y

int dy/y = int x dx

ln(y) = 0,5x^2 +d

y(x) = c*exp(0,5x^2)


Brugbart svar (0)

Svar #5
15. august 2017 af mathon

i stedet for y{\, }' skrives \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}

                                        \small \int \frac{1}{y}\, \mathrm{d}y=\int x\, \mathrm{d}x\; \; \; \; \; y>0

                                        \small \ln(y)=\tfrac{1}{2 }x^2+k

                                        \small y=e^{\tfrac{1}{2 }x^2+k}=e^{\frac{1}{2}x^2}\cdot e^k=Ce^{\frac{1}{2}x^2}                       


Svar #6
15. august 2017 af Sinimini (Slettet)

Jeg kan godt se, at hvis man dividere med y så får man 1/y*y' = x, men jeg forstår ikke lige, hvad der sker efter?


Brugbart svar (0)

Svar #7
15. august 2017 af mathon

                                 \frac{1}{y}\, \mathrm{d}y=x\, \mathrm{d}x

…der integreres på begge sider.


Skriv et svar til: Separation af de variable

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.