Hjælp med noget plangeometri

Brugbart svar (1)

Svar #1
20. august 2017 af mathon

b)

Planen $\small \alpha$ indeholdende punkterne A, B og C
har bl.a. normalvektoren
$\small \small \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$

planligning:
$\small \small \alpha \! \! :\; \; \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ hvor $\small \small P(x,y,z)$ er et vilkårligt punkt i $\small \alpha .$

Brugbart svar (1)

Svar #2
20. august 2017 af Anders521

Hejsa,

mht. c)

for at bestemme vinklen skal du bruge normalvektoren for begge planer der er afsat fra samme punkt. Dernæst kan du bruge en bestem formel der så giver dig svaret.

Brugbart svar (1)

Svar #3
20. august 2017 af mathon

b) fortsat:

$\small V_{spids}=\cos^{-1}\left ( \frac{\left |\overrightarrow{n_\alpha }\cdot \overrightarrow{n_\beta } \right |}{\left | \overrightarrow{n_\alpha } \right |\cdot \left | \overrightarrow{n_\beta } \right |} \right )$

Brugbart svar (1)

Svar #4
20. august 2017 af mathon

skulle have været:

#2 fortsat:

$\small V_{spids}=\cos^{-1}\left ( \frac{\left |\overrightarrow{n_\alpha }\cdot \overrightarrow{n_\beta } \right |}{\left | \overrightarrow{n_\alpha } \right |\cdot \left | \overrightarrow{n_\beta } \right |} \right )$

Brugbart svar (1)

Svar #5
20. august 2017 af fosfor

Koordinaterne for projektionerne af C, D og E i yz-planet, fås ved bare at fjerne x-koordinaten:

Vinklen i c) kan bestemmes som vinklen mellem FG og FD i yz-planet

Vedhæftet fil:fig.png

Brugbart svar (1)

Svar #6
20. august 2017 af mathon

$\small \overrightarrow{n_\alpha }=\begin{pmatrix} -2{.}815\\-2{.}625 \\ 0{.}563 \end{pmatrix}$ $\small \left | \overrightarrow{n_\alpha } \right |=3{.}88996$

$\small \overrightarrow{n_\beta }=\begin{pmatrix} 0{.}780\\0{.}450 \\ 2{.}806 \end{pmatrix}$ $\small \left | \overrightarrow{n_\beta } \right |=2{.}94695$

$\small \left | \overrightarrow{n_\alpha }\cdot \overrightarrow{n_\beta } \right |=1{.}79717$

$\small \left | \overrightarrow{n_\alpha }\right |\cdot \left[\overrightarrow{n_\beta } \right |=11{.}4635$

$\small \small V_{spids}=\cos^{-1}\left (\frac{1{.}79717}{11{.}4635} \right )=81^\circ$

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. august 2017 af fosfor

81 er ikke svaret, der er to vinkler, 99 eller 360-99

Brugbart svar (1)

Svar #8
20. august 2017 af mathon

D's z-koordinat:
$\small 2{.}806\cdot z-8{.}419=0$

$\small z=3{.}00036$
hvoraf:
$\small D=(0;0;3{.}00036)\approx (0;0;3{.}000)$ _{da alle andre koordinater er angivet med højst 3 decimaler.}

Brugbart svar (1)

Svar #9
20. august 2017 af mathon

d)
Tagarealet består af 6 trekanter:

$\small A_{tag}=6\cdot \left ( \tfrac{1}{2}\cdot \left | \overrightarrow{DB} \times\overrightarrow{DE}\right | \right )$

Brugbart svar (1)

Svar #10
20. august 2017 af mathon

e)
$\small \left | BE \right |=\sqrt{(0{.}9-1{.}8)^2+(1{.}559-0)^2+(2{.}5-2{.}5)^2}=1{.}80013\approx 1{.}8$

Grundfladen $\small g$ indeholdende A og C består af 6 ligesidede trekanter med siden $\small \left | AC \right | =1{.}3\; m.$
hvoraf:
$\small g=6\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot \left (1{.}3\; m \right )^2=4{.}39\; m^2$

Topfladen $\small G$ indeholdende B og E
findes af:
$\small \tfrac{G}{g}=\left (\tfrac{\left | BE \right |}{\left | AC \right |} \right )^2$

$\small G=\left (\tfrac{\left | BE \right |}{\left | AC \right |} \right )^2\cdot g$

$\small G=\left (\tfrac{1{.}8}{1{.}3} \right )^2\cdot 4{.}39=8{.}42$

$\small \small A_{pyramidestub}=\tfrac{1}{3}\cdot h\cdot \left ( G+ g+\sqrt{G\cdot g}\right )$

$\small A_{pyramidestub}=\tfrac{1}{3}\cdot 2{.}5\cdot \left ( 8{.}42+ 4{.}39+\sqrt{8{.}42\cdot 4{.}39}\right )$

$\small A_{pyramide}=\tfrac{1}{3}\cdot h\cdot G$

$\small A_{pyramide}=\tfrac{1}{3}\cdot 0{.}5\cdot 8{.}42$

Svar #11
20. august 2017 af TingleFinger (Slettet)

#1 mathon kan det passe at det er sådan her jeg skal regne krydsprodukt?

Brugbart svar (1)

Svar #12
20. august 2017 af mathon

$\small \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} b_1\\b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 0{.}5\\ 0 \\ 2{.}5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -0{.}65\\1{,}126 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\cdot 0-2{.}5\cdot 1{.}126\\ 2{.}5\cdot (-0{,}65)-0{.}5\cdot 0 \\0{.}5\cdot 1{,}126-0\cdot (-0{.}65) \end{pmatrix}$

Svar #13
20. august 2017 af TingleFinger (Slettet)

#10 hvor kommer sqrt3/4 fra?

Brugbart svar (0)

Svar #14
20. august 2017 af fosfor

fra formlen for en ligesidet trekants areal

Brugbart svar (0)

Svar #15
20. august 2017 af mathon

Alle højder i en ligesidet trekant med siden $\small s$
beregnes:
$\small h=s\cdot \sin(60^\circ)=s\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

Trekantareal
$\small T=\tfrac{1}{2}\cdot h\cdot s=\tfrac{1}{2}\cdot \left (\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot s \right )\cdot s=\tfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2$

Brugbart svar (0)

Svar #16
20. august 2017 af mathon

til noter:
$\small \begin{array} {c|c} v& \sin(v)\\ \hline 0^\circ&\tfrac{\sqrt{0}}{2}\\ \hline 30^\circ&\tfrac{\sqrt{1}}{2}\\ \hline 45^\circ&\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \hline 60^\circ&\tfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \hline 90^\circ&\tfrac{\sqrt{4}}{2} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #17
21. august 2017 af mathon

Opsamling:
b)
$\begin{pmatrix} -2{.}815\\ -1{.}625 \\ 0{.}563 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-1{.}3\\ y-0 \\ z-0 \end{pmatrix}=0$

$\alpha \!:\; \; -2{.}815x-1{.}625y+0{.}563z+3{.}6595=0$

c)
da planvinklen er stump:

$V=180^\circ-V_{spids}=180^\circ-81^\circ=99^\circ$

d)
        Tagflade:
                              $A=6\cdot \tfrac{1}{2}\cdot\left | \begin{pmatrix} -0{.}9\\1{.}559 \\ 0 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} -1{.}8\\0 \\ 0{.}5 \end{pmatrix} \right |=8{.}84$

e)
Volumen:
$V=V_{pyramidestub}+V_{pyramide}=\left (15{.}74 \; m^3 \right )+\left (1{.}40\; m^3 \right )=17{.}14 \; m^3$

Matematik

Skriv et svar til: Hjælp med noget plangeometri