Matematik

Funktion

13. september kl. 15:44 af PresidentDungeon - Niveau: A-niveau

Hej

Har nu siddet med denne opgave i et stykke tid, men kan ikke helt fatte hvordan det skal løses.

En funktion f opfylder

f(x)+x\cdot f(1-x)=x

a) Bestem f(2)

b) Bestem en forskrift for f


Brugbart svar (0)

Svar #1
13. september kl. 15:59 af SuneChr

Lad  x =  2:      f (2) + 2 f (- 1) = 2
Lad x = - 1:      f (- 1) - f (2) = - 1
Løs de to ligninger. Find f (- 1) og f (2)  og benyt dem til forskriften for en ret linje.
I b) skal man sikkert finde mindst én funktion, som opfylder kravet.


Svar #2
13. september kl. 16:48 af PresidentDungeon

Er ikke helt med. Skal jeg isolere f(2) og f(-1)?

Hvis dette er tilfældet:

f(2)+2f(-1)=2  svarer til, at f(2)=2-2f(-1)

f(-1)-f(2)=-1 svarer til, at f(-1)=f(2)-1

Desuden, hvorfor skal vi bestemme f(-1)? Må ærligt indrømme at jeg er lidt tabt.


Brugbart svar (0)

Svar #3
13. september kl. 16:53 af Anders521

Hejsa,

mht #1) jeg tror ikke det er løsningsmetoden man skal bruge. Bemærk at hvis x1 er ét reet tal så har vi ligningen f(x1)+x1*f(1-x1)=x1. Hvis x2 er et andet reelt tal har vi ligningen f(x2)+x2*f(1-x2)=x2. Altså har vi at gøre med et ligningssystem (eller en klasse af ligninger). Hint: løs b) først og dernæst bestemme f(2).


Svar #4
13. september kl. 16:58 af PresidentDungeon

Hej Anders

Jeg kan godt se hvad du mener med at jeg skal løse opgave b først, men hvordan bestemmes en forskrift for f? Skal man ikke kende til nogle punkter?


Brugbart svar (0)

Svar #5
13. september kl. 17:09 af Anders521

Hej igen,

nej, at bestemme forskriften for din funktion f svarer til at løse ligningssystemet, hvor den ubekendte er f. 


Svar #6
13. september kl. 17:30 af PresidentDungeon

Hvilke ligninger er det helt præcist jeg skal bruge til at løse dette ligningssystem?


Brugbart svar (0)

Svar #7
13. september kl. 17:35 af fosfor

Svaret i b) er

f(x)=\frac{x^2}{x^2-x+1}


Brugbart svar (0)

Svar #8
13. september kl. 17:35 af Anders521

Det er ligningerne f(x)+xf(1-x)=x hvor x er et reelt tal. Du kender en metode til at løse ligningsystemer, nemlig via substitution: prøv z=1-x.


Svar #9
13. september kl. 17:51 af PresidentDungeon

Fatter det stadigt ikke helt...


Brugbart svar (1)

Svar #10
13. september kl. 19:38 af Anders521

Okay, det er også et svær ligningssystem at løse.  Vi starter med  systemet f(x)+xf(1-x)=x hvor x er et reelt tal. Ved at substituere 1-x med z får vi f(1-z)+(1-z)f(z)=1-z. Vi omskriver ved brug af gængse regneregler og får så 

f(1-z)=1-z-(1-z)f(z)     (*)

Vi substituere (endnu en gang) højresiden af (*) ind i systemet og får 

f(x)+x[1-x-(1-x)f(x)]=x

Nu kan du sikker bestemme f(x) og få svaret i #7 og dernæst udregne f(2) :-)

Denne opgave er ikke typisk stillet i gymnasiet. Må jeg spørge hvilken bog opgaven står i?


Svar #11
13. september kl. 19:55 af PresidentDungeon

Mange tak for hjælpen Anders.

Jeg ved desværre ikke hvilken bog opgaven står i, men den var stillet til os i vores aflevering. Havde siddet med den i et stykke tid og kunne ikke finde ud af at løse den.


Skriv et svar til: Funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.