Matematik

Vise at Z1/Z2 tilhører mængden M

13. september kl. 18:20 af jansobieski - Niveau: Universitet/Videregående

Vi betragter mængden

M = {x +y√5 | x, y∈ Q}  idet vi husker at √5 ∉ Q

Lad tallene zz∈ M være vilkårligt valgt.

Antag at z≠ 0

Vis, at da er z1/z2 ∈ M

Jeg har stilt det op således at jeg får:

x1+y1√5/x2+y2√5

Så forkorter jeg √5 ud af brøken og får

x1+y1/x2/y2

Jeg har i en tidligere opgave bevist, at to rationelle tal lagt sammen er rationelt, men har jeg ved dette bevist at z1/z2 ∈ M?

mvh


Brugbart svar (1)

Svar #1
13. september kl. 18:41 af AskTheAfghan

Det er meget utydeligt, hvad du har gjort. Sæt parenteser på, og læs gerne lidt om regneregler for brøker (din måde at forkorte brøken med √5 er ikke korrekt). Lad z1 := a + b√5 og z2 := c + d√5 tilhøre M, og lad z2 ≠ 0. Du ønsker at vise, om z1/z2 tilhører M. Du kan forlænge brøken z1/z2 med (c - d√5), og sæt k := z2(c - d√5). Her er z1(c - d√5)/k = [(ac - 5bd)/k] + [(bc - ad)/k]√5. Du skal så undersøge (vise), om (ac - 5bd)/k og (bc - ad)/k tilhører Q. Hvad kan du så sige om det?


Svar #2
13. september kl. 19:24 af jansobieski

Når ja selvfølgelig.

Så får vi jo [(ac-bd)/(c2-d25)]+[(bc-ad)/(c2-d25)]√5, altså 2 rationelle tal hvor det ene er multipliceret af √5, hvilket altså svarer til x+y√5,

Så vi har vist at [(ac-bd)/(c2-d25)]+[(bc-ad)/(c2-d25)]√5 ∈ M


Svar #3
13. september kl. 19:48 af jansobieski

Rettelse til ovenstående - Der mangler et 5 tal før (-bd) i første led så der står:

[(ac-5bd)/(c2-5d25)]+[(bc-ad)/(c2-5d2)]√5 og hvis jeg ikke skulle være helt ved siden af så kan 5 tallet forkortes ud i første led så der endeligt står:

 [(ac-bd)/(c2-d2)]+[(bc-ad)/(c2-5d2)]√5


Skriv et svar til: Vise at Z1/Z2 tilhører mængden M

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.