Matematik

HASTER - Differentialligninger

18. september 2017 af 12345hey - Niveau: A-niveau

Jeg forstår ikke følgende opgave.

Funktionerne f, g og h er løsninger til differentialligningen: y'=y(6-2y), hvor f(0)=1, g(0)=3 og h(0)=5. Bestem regneforskrifter for f, g og h, og angiv ligninger for grafernes asymptoter og anvend disse til at skitsere graferne for de tre løsninger.

I må meget gerne forklare opgaven trin for trin, tak på forhånd :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. september 2017 af peter lind

Brug separation af variable dy/dx = y(6-2y) <=> 1/(y*6-2y)dy = dx og integrer på begge sider

Svar #2
18. september 2017 af 12345hey

Kan man løse opgaven uden hjælpemidler?

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. september 2017 af fosfor

Uden eller med hjælpemidler??

Svar #4
18. september 2017 af 12345hey

Undskyld, men jeg er ikke helt med på forklaringen ... Kan du muligvis forklarer det trin for trin, for ellers har jeg svært ved at forstå det

Svar #5
18. september 2017 af 12345hey

Altså, hvis jeg kan løse opgaven uden hjælpemidler, skulle det gøres. Men hvis jeg derimod ikke kan, måtte man godt gøre det på cas.

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. september 2017 af mathon

$\small \tfrac{1}{y(3-y)}\mathrm{d} y=2\mathrm{d} x\; \; \; \; \; y\neq3$

$\small \left (\tfrac{\tfrac{1}3{}}{y}+\tfrac{\tfrac{1}{3}}{3-y} \right ) \mathrm{d} y= 2\, \mathrm{d} x$

$\small \left (\tfrac{1}{y}+\tfrac{1}{3-y} \right ) \mathrm{d} y= 6\, \mathrm{d} x$

$\small \int\left ( \tfrac{1}{y}-\tfrac{1}{y-3} \right )\mathrm{d} y=\int 6\, \mathrm{d} x$

$\small \ln(y)-\ln(y-3)= 6x+C_1$

$\small \ln\left ( \tfrac{y}{y-3} \right )= 6x+C_1$

$\small \tfrac{y}{y-3} = Ce^{6x}$
hvoraf for $\small f(0)=y=1\!:$

$\small \tfrac{1}{1-3}=C\cdot e^{6\cdot 0}$

$\small -\tfrac{1}{2}=C$
dvs
$\small \tfrac{y}{y-3}=-\tfrac{1}{2}e^{6x}$

$\small y=f(x)=\tfrac{3}{2e^{-6x}+1}$

hvoraf for $\small \small g(0)=y=3$ som ikke er defineret og dermed $\small \small g(0)$ heller ikke er defineret/mulig.

hvoraf for $\small h(0)=y=5$ :

$\small \tfrac{5}{5-3}=C\cdot e^{6\cdot 0}$

$\small \tfrac{5}{2}=C$
dvs
$\small \tfrac{y}{y-3}=\tfrac{5}{2}e^{6x}$

$\small h(x)=\tfrac{3}{1-0{.}4e^{-6x}}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. september 2017 af mathon

Bemærk
   lommeregneren benytter
   formentlig:
   $\small e^{-6x}=\left ( e^{-6} \right )^x=0{.}002479^{\, x}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. september 2017 af mathon

korrektion af #6's 14. linje:
hvoraf for $\small \small g(0)=y=3$ som ikke er defineret og dermed $\small \small \small g(x)$ heller ikke er defineret/mulig.

Skriv et svar til: HASTER - Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.