Matematik

Undersøg om funktionen f(x)= ex-x2-2x-x er en løsning til differentialligningen.

26. september 2017 af soer381k - Niveau: B-niveau

hej jeg har en opgave der lyder

Undersøg om funktionen f(x)= ex-x2-2x-x er en løsning til differentialligningen.

dy/dx = x2- y

hvad gør man?


Brugbart svar (1)

Svar #1
26. september 2017 af Mathias7878

Er funktionen

f(x) = e^x-x^2-3x

?

- - -

 

 


Svar #2
26. september 2017 af soer381k

nej undskyld      f(x)= e^x - x^2 - 2x - 2


Brugbart svar (1)

Svar #3
26. september 2017 af fosfor

Hvis differentialligningen er         dy/dx = x2- y

Så er f løsning, hvis der gælder    f'(x) = x2 - f(x)


Brugbart svar (1)

Svar #4
26. september 2017 af Mathias7878

\frac{dy}{dx} = f'(x)

f(x) = e^x-x^2-2x-2

f'(x) = e^x-2x-2

f'(x) = x^2-y = x^2-f(x)

e^x-2x-2 = x^2-e^x-x^2-2x-2

Det røde går ud med hinanden

e^x-2x-2 = {\color{Red} x^2}-e^x{\color{Red} -x^2}-2x-2

e^x-2x-2 = -e^x-2x-2

Dvs. funktionen f(x) er ikke en løsning til differentialligningen

- - -

 

 


Brugbart svar (1)

Svar #5
26. september 2017 af fosfor

f er ikke løsning, da ex'erne ikke kan gå ud med hindanden

e^x + ..... = -e^x + ..........


Brugbart svar (1)

Svar #6
26. september 2017 af Mathias7878

Ups, tog fejl af fortegene

#5 har ret, da der står -e^x og ikke +e^x

- - -

 

 


Brugbart svar (1)

Svar #7
26. september 2017 af mathon

Hvis

                 \small y=(e^x-2x-x)-x^2\Leftrightarrow y+x^2=e^x-2x-x


                 \small y{\, }'=e^x-2x-2=y+x^2\neq x^2-y

hvorfor
                 \small y=e^x-x^2-2x-2   ikke er en løsning til \small \tfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=x^2-y


Brugbart svar (1)

Svar #8
26. september 2017 af swpply (Slettet)

Differentialligningen

y^\prime = x^2 - y \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{d}{dx}\big(ye^x\big) = x^2e^x

kan altså omskrives til et eksakt integral. Ved to gange partial integration får vi således at

ye^x = (x^2 - 2x + 2)e^x +C,

hvor C er en arbitrær integrations konstant. Dermed er samtlige løsninger til differentialligningen på formen

y = x^2 - 2x + 2 +Ce^{-x}.

Hvorimod at funktionen y1(x) = ex - x2 - 2x - 2 er en løsning til differential ligningen y1' = x2 + y1


Svar #9
26. september 2017 af soer381k

jeg forstår det ikke helt. er det rigtigt at :

f(x) = y = ex - x2 - 2x - 2 ⇔ x2 + y = ex - 2x - 2

dy/dx = f '(x) = ex - 2x - 2 = x2 + y

så det er ikke en løsning?


Brugbart svar (1)

Svar #10
26. september 2017 af swpply (Slettet)

Ja, det er rigtigt forstået.

              y_1(x) = e^x - x^2 - 2x -2

er en løsning til differentialligningen

              y_1^\prime(x) = x^2 + y_1(x).

Hvorimod at differentialligningen

              y_2^\prime(x) = x^2 - y_2(x)  

har den fuldstændige løsning

y_2(x) = Ce^{-x} + x^2 - 2x + 2.

— Det er utroligt hvor meget et fortegn kan betyde ;-)


Svar #11
26. september 2017 af soer381k

tak HovedetPåSømmet


Skriv et svar til: Undersøg om funktionen f(x)= ex-x2-2x-x er en løsning til differentialligningen.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.