Matematik

Opgave

26. september 2017 af Sinimini (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Kan nogen hjælpe med følgende opgave?

Differentialligningen y'=x-y^2

har en integralkurve, der går gennem (3,4).

Bestem ligningen for integralkurvens tangent i punktet (3,4). Hvordan gør jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september 2017 af peter lind

Du indsætter punktets værdier på højre side af ligningn. Derved får du tangentens hældning. Du ved desuden at den går igennem (3, 4)

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. september 2017 af swpply (Slettet)

Husk at y'(x) bestemmer hældningen af tangentlinjen til y(x) i punktet (x, y(x)).

Da tangentlinjen er en retlinje har den følgende funktions forskrift

f(x) = ax+b

hvor a (iflg. ovenstående) er givet ved

$\begin{align*} a &= y^\prime(3) \\ &= 3 - \big(y(3)\big)^2 \\ &= 3 - 4^2 \\ &= -13 \end{align*}$

Altså har vi at tangentlinjen til y i punktet (3,4) er

$\begin{align*} f(x) = -13x+b \end{align*}$ .

Bruger vi nu at tangentlinjen "kysser" y i punktet (3,4). Har vi at

$\begin{align*} f(3) = 4 \qquad\Longleftrightarrow\qquad -13\cdot3+b=4 \qquad\Longleftrightarrow\qquad b = 43 \end{align*}$

Altså er tangentlinjen til y i punktet (3,4) givet ved funktionen

$\begin{align*} f(x) = -13x+43 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september 2017 af mathon

$\small \small y{\, }'=3-4^2=-13$

tangentligning i (3,4):
$\small \small y=-13x+\left ( 4-(-13)\cdot 3 \right )$

$\small \small \small y=-13x+43$

Svar #4
26. september 2017 af Sinimini (Slettet)

Skal man ikke integrere noget, siden der står integralkurve?

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. september 2017 af peter lind

nej. Det er ikke nødvendig

Brugbart svar (1)

Svar #6
26. september 2017 af swpply (Slettet)

Integralkurven er y.

y er løsningen til differentialligningen, altså den tilhørende integralkurve.

Du behøver ikke at kende y eksplicit, det er tilsktrækeligt at kende differentiallignen y opfylder (på den måde kender du opførelsen af y') og at y går igennem punktet (3, 4). Hvorfor det ikke er nødvendigt at integrere differentialligningen for at kende y.

Skriv et svar til: Opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.