Matematik

faktorisering af andengradspolynomier

18. februar 2020 af sophiajulie - Niveau: B-niveau

hej

jeg er ved at skrive sso i matematik polynomier.

jeg leder efter et bevis der beskriver sammenhængen mellem ax²+bx+c og den faktoriserede udgave:

(x+q)(x+z)a

jeg forstår altså godt hvordan det fungerer, men jeg kan ikke lige finde et passende bevis. det kunne især være interessant hvis det kunne bevise det med at q*z=c og q+x=b.

jeg håber i kan hjælpe:)

vh julie

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. februar 2020 af Festino

Har du lært om divisionsalgoritmen for polynomier? Det følger af denne sætning, at hvis $f(x)$ er et polynomium af grad $n>0$ og $x_0$ er et tal, så findes der et polynomium $g(x)$ af grad $n-1$ så

$f(x)=(x-x_0)\cdot g(x)+f(x_0)$ .

Hvis $x_0$ er en rod i $f(x)$ gælder der specielt

$f(x)=(x-x_0)\cdot g(x)$ .

Heraf følger, at et andengradspolynomium med mindst en rod altid kan skrives på formen $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ .

Hvis omvendt vi har givet, at $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , så får vi ved at gange parenteserne sammen, at

$f(x)=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2$ .

Det betyder, at vi kan skrive $f$ på formen $f(x)=ax^2+bx+c$ , hvor $b=-a(x_1+x_2)$ og $c=ax_1x_2$ . Hvis $a=1$ , gælder der specielt $b=-(x_1+x_2)$ og $c=x_1x_2$ samt

$f(x)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2$ .

$f(x_1)=a(x_1-x_1)(x_1-x_2)=a\cdot 0\cdot(x_1-x_2)=0$ ,

er $x_1$ rod i andengradspolynomiet. En analog udregning viser, at det samme gælder for $x_2$ .

Brugbart svar (1)

Svar #2
19. februar 2020 af mathon

I en reduceret, ordnet og normeret andengradsligning med to rødder x₁ og x₂

$\small x^2+bx+c=0$

gælder:
$\small b=-(x_1+x_2)\quad \textup{ og }\quad x_1\cdot x_2=c$

Koefficienten til x er lig med røddernes sum med modsat fortegn og røddernes produkt er lig med ligningens sidste led (på venstre side).

Brugbart svar (1)

Svar #3
19. februar 2020 af mathon

#2 redigeret:

I et reduceret, ordnet og normeret andengradspolynomium med to rødder x₁ og x₂

$\small x^2+bx+c$

gælder:
$\small b=-(x_1+x_2)\quad \textup{ og }\quad x_1\cdot x_2=c$

Koefficienten til x er lig med røddernes sum med modsat fortegn og røddernes produkt er lig med polynomiets sidste led.

Brugbart svar (1)

Svar #4
19. februar 2020 af mathon

I et vilkårligt andengradspolynomium med to rødder x₁ og x₂

$\small \small \small \small \begin{array}{lllll}&ax^2+bx+c\quad a\neq0\\\\&a\left ( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )\\\\\textup{g\ae lder i f\o lge }\#3\\&\frac{b}{a}=-(x_1+x_2)\quad \textup{og}\quad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\\\\\\&a\left ( x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2 \right )\\\\&a(x^2-x_1x-x_2x+x_2 x_1)\\\\&a((x-x_1)x-(x-x_1)x_2)\\\\&a((x-x_1)(x-x_2)) \end{array}$

Hvilket er andengradspolynomiets faktorisering.

Brugbart svar (1)

Svar #5
19. februar 2020 af mathon

Detaljer:
$\small \small \small \begin{array}{llll}\textup{for }x^2+bx+c&\textup{med r\o dderne }x_1\textup{ og }x_2\\\textup{haves:}\\&x_1=\frac{-b-\sqrt{d}}{2}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{d}}{2}\\\\\\&x_1+x_2=\frac{-2b}{2}=-b\\\\&b=-(x_1+x_2)\\\textup{med }d=b^2-4c\\&x_1\cdot x_2=\frac{\left (-b-\sqrt{d} \right )\cdot \left ( -b+\sqrt{d} \right )}{4}=\frac{b^2-d}{4}=\frac{b^2-(b^2-4c)}{4}=c \end{array}$

Svar #6
19. februar 2020 af sophiajulie

#4
I et vilkårligt andengradspolynomium med to rødder x₁ og x₂

$\small \small \small \small \begin{array}{lllll}&ax^2+bx+c\quad a\neq0\\\\&a\left ( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )\\\\\textup{g\ae lder i f\o lge }\#3\\&\frac{b}{a}=-(x_1+x_2)\quad \textup{og}\quad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\\\\\\&a\left ( x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2 \right )\\\\&a(x^2-x_1x-x_2x+x_2 x_1)\\\\&a((x-x_1)x-(x-x_1)x_2)\\\\&a((x-x_1)(x-x_2)) \end{array}$

Hvilket er andengradspolynomiets faktorisering.

tak for et meget godt svar mathon. jeg er bare ikke helt med på sidste trin, hvor du går fra

a((x-x₁)x-(x-x₁)x₂) til a((x-x₁)(x-x₂))

ps har du en kilde?

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. februar 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llll}\textup{sidste trin:}&a\left ( (x-x_1)x-(x-x_1)x_2 \right ) \\\textup{Den f\ae lles}\\\textup{faktor }(x-x_1)\\\textup{s\ae ttes uden for }\\\textup{parentes:}&a(x-x_1)(x-x_2) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. februar 2020 af mathon

Jeg har ingen kilde.

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. februar 2020 af ringstedLC

#6: Eller du kan gå den tunge vej:

$\begin{align*} a\left ( (x-x_1)\,x-(x-x_1)\,x_2 \right ) &= \\ a\left ( x^2-x_1x-xx_2-x_1x_2 \right ) &= \\ a\left ( x^2-xx_2-x_1x-x_1x_2 \right ) &= \\ a\left ( \underset{\begin{smallmatrix}\text{1.\,led} &\cdot &\text{1.\,led} \\ \text{Par}_{\,1} & &\text{Par}_{\,2} \end{smallmatrix}}{\underbrace{x^2}} -\underset{\begin{smallmatrix}\text{1.\,led} &\cdot &\text{2.\,led} \\ \text{Par}_{\,1} & &\text{Par}_{\,2} \end{smallmatrix}}{\underbrace{xx_2}} -\underset{\begin{smallmatrix}\text{2.\,led} &\cdot &\text{1.\,led} \\ \text{Par}_{\,1} & &\text{Par}_{\,2} \end{smallmatrix}}{\underbrace{x_1x}} -\underset{\begin{smallmatrix}\text{2.\,led} &\cdot &\text{2.\,led} \\ \text{Par}_{\,1} & &\text{Par}_{\,2} \end{smallmatrix}}{\underbrace{x_1x_2}} \right ) &= \\ a\,\underset{\text{Par}_{\,1}}{\underbrace{\left (x-x_1 \right )}}\; \underset{\text{Par}_{\,2}}{\underbrace{\left ( x-x_2 \right )}} \end{align*}$

Skriv et svar til: faktorisering af andengradspolynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.