"
>

Andengradsligning

En andengradsligning er helt essentiel i matematik. Derfor er det vigtigt at forstå, hvad en andengradsligning er og vigtigst at kunne løse den. Man skriver også ofte '2. gradsligning' på denne måde. I artiklen her benyttes begge måder.

En andengradsligning er nært forbundet med et andengradspolynomium.

En 2. gradsligning er en ligning med én ubekendt (x), som er opløftet i anden potens og (måske) i første potens. Foruden den ubekendte x, indgår der i 2. gradsligningen 3 reelle konstanter (a, b og c), også kaldet koefficienter.

Andengradsligning - formel

Den generelle formel for en andengradsligning ser ud på følgende måde:

\[ax^2 + bx + c = 0\]

\(a ≠ 0\), da der ikke er tale om en andengradsligning, hvis \(a = 0\)

\(x\) er den ubekendte (opløftet i anden potens og (måske) i første potens)

\(a, b\) og \(c\) er reelle konstanter

For at kunne løse en 2. gradsligning skal der være et \(0\) på den ene side af lighedstegnet. For 2. gradsligninger gælder, at \(a\) er konstanten foran den ubekendte opløftet i anden potens \(x^2\). \(b\) altid konstanten foran den ubekendte i første potens \(x\), og \(c\) er en konstant.

Eksempel på 2. gradsligning:

\(-2x^2 + 8x – 6 = 0\)

\((a = -2, b = 8\) og \(c = -6)\)

Løs andengradsligning

En andengradsligning kan have \(0, 1\) eller \(2\) løsninger. Det afhænger af størrelsen på hjælpestørrelsen diskriminanten. Diskriminanten \(D = b^2 - 4ac\) er helt afgørende i løsning af en andengradsligning. Når man har udregnet \(D\), kan man finde løsningerne for \(x\).

En andengradsligning kan, som en funktion af \(x\), grafisk afbildes som en parabel. Når en andengradsligning har to løsninger, er de parablens skæringspunkter med x-aksen. På samme måde som når man skal finde rødder for et andengradspolynomium. Er der kun én løsning på andengradsligningen, er den parablens toppunkt og skæring med x-aksen. Er der ingen løsninger, så skærer parablen ikke x-aksen.

Lad os se på et par eksempel, da tal er med til at øge forståelsen og logikken i at løse en andengradsligning.  

Eksempel 1:

\(-2x^2 + 8x – 6 = 0\)

\((a = -2, b = 8\) og \(c = -6)\)

Først skal man finde \(D\), der er defineret ved formlen: \(D = b^2 – 4ac\)

  \(D = 8^2 – 4\cdot(-2)\cdot(-6)\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 64 - 48\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 16\)

Da \(D > 0\) er der to løsninger af 2. gradsligningen.

De findes ved formlen \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)

  \(x = \frac{-8 \pm \sqrt {16}}{2\cdot(-2)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{-8 \pm 4}{-4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = 1\) eller \(x = 3\)

Andengradsligningens løsninger: \(x = 1\) eller \(x = 3\).

Som kontrol kan man indsætte de to værdier i andengradsligningen:

  \(-2x^2 + 8x – 6 = 0\)
\(\Downarrow\)
  \(-2\cdot(1)^2 + 8\cdot(1) – 6 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(-2 + 8 – 6 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(0 = 0\)             \((x = 1\) er en løsning)

  \(-2x^2 + 8x – 6 = 0\)
\(\Downarrow\)
  \(-2\cdot(3)^2 + 8\cdot(3) – 6 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(-18 + 24 – 6 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(0 = 0\)              \((x = 3\) er en løsning)

Eksempel 2:

\(-4x^2 – 5x + 9 = 0\)

\((a = -4, b = -5\) og \(c = 9)\)

Først skal man finde \(D\), der er defineret ved formlen: \(D = b^2 – 4ac\)

  \(D = (-5)^2 – 4\cdot(-4)\cdot9\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 25 + 144\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 169\)

Da \(D > 0\) er der to løsninger af 2. gradsligningen.

De findes ved formlen \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)

  \(x = \frac{-(-5) \pm \sqrt {169}}{2\cdot(-4)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{5 \pm 13}{-8}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = -2,25\) eller \(x = 1\)

Andengradsligningens løsninger: \(x = 1\) eller \(x = -2,25\)

Igen kan man indsætte de to værdier i andengradsligningen som kontrol:

  \(-4x^2 – 5x + 9 = 0\)
\(\Downarrow\)
  \(-4(1)^2 – 5(1) + 9 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(-4 – 5 + 9 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(0 = 0\)               \((x = 1\) er en løsning)

  \(-4x^2 – 5x + 9 = 0\)
\(\Downarrow\)
  \(-4(-2,25)^2 – 5(-2,25) + 9 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(-20,25 + 11,25 + 9 = 0\)
\(\Updownarrow\)
  \(0 = 0\)               \((x = -2,25\) er en løsning)

Skjulte andengradsligninger

Lad os se på nogle eksempler for omskrivningen af en 2. gradsligning. Disse ligninger er alle udtryk for en ’skjult’ 2. gradsligning, som det fremgår af omskrivningerne.

  1.   \(x(-2x + 8) = 6\)   (\(x\) ganges ind i parentes)
    \(\Updownarrow\)
      \(-2x^2 + 8x = 6\)    (\(6\) trækkes fra på begge sider af lighedstegnet) 
    \(\Updownarrow\)
      \(-2x^2 + 8x - 6 = 0\)
     
  2.   \(x(5 – 4x) + 8 = 3x - 7\)   (\(x\) ganges ind i parentes)
    \(\Updownarrow\)
      \(5x – 4x^2 + 8 = 3x - 7\)   (træk \(3x\) fra på begge sider og læg \(7\) til på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \( -4x^2 +2x +15 = 0\)
     
  3.   \(4x(x +2 + x^2) = -2x(5 – 2x^2)\)   (parenteserne ganges ud)
    \(\Updownarrow\)
      \(4x^2 + 8x + 4x^3 = -10x +4x^3\)   (træk \(4x^3\) fra på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \(4x^2 + 8x = -10x\)   (læg \(10x\) til på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \(4x^2 + 18x = 0\)
     
  4.   \(6x + 52 = 2x(-3x + 3) - 2\)   (gang parentes ud)
    \(\Updownarrow\)
      \(6x + 52 = -6x^2 + 6x – 2\)   (træk \(6x\) fra på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \(52 = -6x^2 – 2\)   (læg \(6x^2\) og \(2\) til på begge sider)
    \(\Updownarrow\)
      \(6x^2 + 54 = 0\)

En andengradsligning kan forekomme på flere forskellige måder. I eksempel 3 er der kun to led, da \(c = 0\). I eksempel 4 er der også kun to led, da \(b = 0\).

Afgørende i en andengradsligning er det, at der kun er en ubekendt \(x\), som maximalt er opløftet i anden potens.

Se flere eksempler på de efterfølgende sider.