"
>

Andengradspolynomium

Et andengradspolynomium er, som navnet siger, et polynomium af anden grad. Den største potens-eksponent, der ses for x, bestemmer graden. I dette tilfælde må den uafhængige variabel maximalt være opløftet i anden potens og (måske) i første potens. Et polynomium betyder en ’flerleddet størrelse’ og et andengradspolynomium ser således ud:

\[ax^2 + bx + c\]

\(a ≠ 0\), da der ikke er tale om et andengradspolynomium hvis \(a = 0\). Da ville det blot være udtryk for linjens ligning.

\(x\) er den ubekendte (opløftet i op til anden potens)

\(a, b\) og \(c\) er reelle konstanter og kaldes koefficienter (det er afgørende at lægge mærke til at \(a\) altid er koefficienten foran \(x^2\), \(b\) er altid foran \(x\) og \(c\) er en reel konstant).

Et andengradspolynomium er som ligning givet ved denne forskrift:

\[y = ax^2 + bx + c\]

Når man beskæftiger sig med et andengradspolynomium, er det oftest funktionen for et andengradspolynomium, som man ønsker at beskrive, funktionsforskriften for denne ser således ud (bemærk: funktionsforskrift):

\[p(x) = ax^2 + bx + c\]

Når man ser på funktionen af et andengradspolynomium, kan det grafisk illustreres som en fordeling af punkter, idet indsættelse af x-værdier giver en funktionsværdi. Denne funktionsværdi svarer i en afbildning i et koordinatsystem til y-koordinaten, p(x) = y. Når man afbilder en funktion af et andengradspolynomium, er det grafiske billede altid en parabel.

En grafisk afbildning af det simple andengradspolynomium hvor \(a = 1, b = 0\) og \(c = 0\) ser således ud:

Andengradspolynomium, simpelt

Et andet eksempel på en funktion af et andengradspolynomium kunne være:

\(p_0(x) = x^2 – 2x +7\).

Når man indsætter \(x = 1\), fås en funktionsværdi:

\(p_0(1) = 1^2 – 2 \cdot 1 + 7 ⇒ p_0(1) = 6\).

For \(x = 2\) fås funktionsværdien:

\(p_0(2) = 2^2 – 2 \cdot 2 + 7 ⇒ p_0(2) = 7\)

For \(x = 3\) fås funktionsværdien:

\(p_0(3) = 3^2 – 2 \cdot 3 +7 ⇒ p_0(3) = 10\)

Det siges eksempelvis, at funktionsværdien for \(3\) er \(10\). Dermed er \((x,p_0(x)\)) på den grafiske afbildning punktet \((3,10)\).

Den grafiske afbildning af funktionen for et andengradspolynomium er, som beskrevet, en parabel, der er defineret ved at være symmetrisk omkring et punkt, der kaldes toppunktet. Funktionen af et andengradspolynomium grafiske afbildning minder om en mund, som populært sagt enten er glad eller sur. En glad mund kaldes også en konveks parabel, en sur mund kaldes en konkav parabel.

Derudover kan man for funktionen af et andengradspolynomium bestemme skæring med x-aksen og toppunkt. Toppunkt kan både være i toppen eller i bunden af den grafiske afbildning som enten et minimum eller et maksimum.

Generelle betingelser for et andengradspolynomium

Man kan på baggrund af koefficienterne a, b og c eller med andre ord et andengradspolynomiums funktionsforskrift bestemme følgende om den grafiske afbildning:

\(a > 0\): benene (parabelgrenene) vender opad/en konveks parabel med et minimum som toppunkt

\(a < 0\): benene (parabelgrenene) vender nedad/en konkav parabel med et maksimum som toppunkt

jo længere \(a\) er fra \(0\) desto stejlere er grafen, både med positivt og negativt fortegn

\(b = 0\): toppunkt ligger på y-aksen

\(a\) og \(b\) har samme fortegn: toppunkt til venstre for y-aksen

\(a\) og \(b\) har forskelligt fortegn: toppunkt til højre for y-aksen

\(c\): skæring med y-aksen

(\(b = c = 0\): toppunkt ligger på x-aksen)

Skæring med x-aksen for et andengradspolynomium

Når man skal finde skæringen/skæringerne med x-aksen sættes \(p(x) = 0\).

Det svarer til \(ax^2 + bx + c = 0\), og dermed en andengradsligning.

På samme måde som \(x\) repræsenterer de \(0, 1\) eller \(2\) løsninger i andengradsligningen, repræsenterer det for et andengradspolynomium de \(0, 1\) eller \(2\) x-koordinater for skæringen med x-aksen med koordinatsættet (\(x, 0\)).

Skæringen med x-aksen kaldes også for nulpunkter eller rødder i et andengradspolynomium. Nulpunkter for et andengradspolynomium findes ligesom for en andengradslignings ved hjælp af den matematiske størrelse diskriminanten D.

\(D = b^2 - 4ac\)

Der gælder følgende om D:

Hvis \(D > 0\) er der to rødder/nulpunkter/skæringer med x-aksen

Hvis \(D = 0\) er der én rod/et nulpunkt/skæring med x-aksen

Hvis \(D < 0\) er der ingen rødder/nulpunkter/skæringer med x-aksen

x-koordinaterne i skæringen med x-aksen, hvor \(y = 0\), kan herefter bestemmes ud fra formlen:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)

For at beregne en parabels toppunkt skal man bruge toppunktsformlen. For en beskrivelse af denne se artiklen Toppunktsformlen.

Efter alle de teoretiske overvejelser er det på tide at se på et par taleksempler, der kan forenkle de udregninger, der er knyttet til et andengradspolynomium.

Eksempel 1

En funktionsforskrift for et andengradspolynomium er givet ved: 

\(p_1(x) = 2x^2 - 8x + 6\) 

\((a = 2, b = -8\) og \(c = 6)\)

Man ved på baggrund af de generelle betingelser om grafen at:

  • Da \(a > 0\) vender benene (parabelgrenene) opad og toppunktet er et minimum.
  • Da a og b har forskelligt fortegn er toppunkt til højre for y-aksen.
  • Skæring med y-aksen er punktet \((0,6)\)

For at undersøge de præcise betingelser for grafen, såsom skæring med x-aksen/nulpunkter/rødder, sættes \(p_1(x) = 0\)

\(2x^2 - 8x + 6 = 0\)

Først skal man finde D, der er defineret ved:

  \(D = b^2 – 4ac\)
\(\Downarrow\)
  \(D = (-8)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 6\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 64 - 48\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 16\)

Da \(D > 0\) er der to skæringer med x-aksen:

  \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)
\(\Downarrow\)
  \(x = \frac{-(-8) \pm \sqrt {16}}{2 \cdot 2}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{8 \pm 4}{4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = 3\) eller \(x = 1\)

Punkterne \((x_1,y\)) og (\(x_2,y)\) for skæring med x-aksen er derfor: \((1,0)\) og \((3,0)\).

For at finde grafens toppunkt kan man bruge toppunktsformlen.

x-koordinat er defineret ved:

\(x = \frac{-b}{2a} ⇒ x = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} ⇒ x = 2\)

y-koordinat er defineret ved:

\(y = \frac{-D}{4a} ⇒ y = \frac{-16}{4 \cdot 2} ⇒ y = -2\)

Toppunktet er derfor: \((2, -2)\)

Som det fremgår når man tegner grafen som illustreret herunder, stemmer de generelle betingelser og de udregnede koordinater for skæring med x-aksen og toppunkt overens.

Andengradspolynomium, skæring og rødder

Da variabel a er positiv, er grafen smilende (konveks parabel), og som man kan se, vender grafen præcis i punktet \((2, -2)\).

Eksempel 2:

En funktionsforskrift for et andengradspolynomium er givet ved:

\(p_2(x) = -3x^2 - 18x - 24\)

\((a = -3, b = -18\) og \(c = -24)\)

Man ved på baggrund af de generelle betingelser om grafen for en funktion af et andengradspolynomium at:

  • Da \(a < 0\) vender benene (parabelgrenene) nedad med et maksimum som toppunkt
  • Da a og b har samme fortegn er toppunkt til venstre for y-aksen
  • Skæring med y-aksen er punktet \((0,-24)\)

For at undersøge grafens skæring med x-aksen/nulpunkter/rødder sættes \(p_2(x) = 0\)

\(-3x^2 - 18x - 24 = 0\)

Først findes D der er defineret ved:

  \(D = b^2 – 4ac\)
\(\Downarrow\)
  \(D = (-18)^2 – 4\cdot(-3)\cdot(-24)\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 324 - 288\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 36\)

Da \(D > 0\) er der to skæringspunkter med x-aksen.

  \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)
\(\Downarrow\)
  \(x = \frac{-(-18) \pm \sqrt {36}}{2\cdot(-3)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{18 \pm 6}{-6}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = -4\) eller \(x = -2\)

Punkterne (\(x_1,y\)) og (\(x_2,y\)) for skæringen med x-aksen er derfor: \((-4,0)\) og \((-2,0)\).

For at finde grafens toppunkt kan man bruge toppunktsformlen.

x-koordinat er defineret ved:

\(x = \frac{-b}{2a} ⇒ x = \frac{-(-18)}{2\cdot(-3)} ⇒ x = -3\)

y-koordinat er defineret ved:

\(y = \frac{-D}{4a} ⇒ y = \frac{-36}{4\cdot(-3)} ⇒ y = 3\)

Toppunktet er derfor: \((-3, 3)\)

Når man tegner grafen for dette andengradspolynomium, fremgår det på afbildningen herunder, at de generelle betingelser og de udregnede koordinater for skæringer med x-aksen og toppunkt stemmer overens.

Andengradspolynomium, toppunkt

Da denne graf har en negativ a variabel, vender den nedad og får den sure form (konkav parabel).