"
>

Diskriminanten

Diskriminanten er en matematisk størrelse, som blandt andet indgår i beregningen af en andengradsligning. Diskriminanten forkortes D. Diskriminanten for en andengradsligning er defineret således:

Diskriminantformlen

\[D = b^2 – 4ac\]

En diskriminant er en hjælpestørrelse og er rent praktisk et skridt på vejen for at kunne finde løsninger for x. Derfor er diskriminanten D en meget vigtig størrelse. Alene på baggrund af størrelsen på D kan man afgøre følgende, om antallet af løsninger for x:

  • Hvis \(D > 0\) er der to løsninger
  • Hvis \(D = 0\) er den én løsning
  • Hvis \(D < 0\) er der ingen reelle løsninger

Man kan lave et par yderligere grundlæggende regler for diskriminanten D. Så man hurtigt kan afgøre om D er positiv eller negativ. Som det fremgår af diskriminantformlen er leddet ’\(b^2\)’ altid en positiv størrelse.

  • Det ses samtidig at hvis a gange c derudover er negativ \(a \cdot c < 0\) bliver det sidste led \(’-4ac\)’ en positiv størrelse. I det tilfælde er diskriminanten D positiv og der findes to løsninger for x.
     
  • Har a og c derimod samme fortegn (enten plus eller minus) bliver det andet led ’\(-4ac\)’ negativt. Er b samtidig et ’lille’ tal, er det sandsynligt at diskriminanten ved udregning bliver mindre end \(O\) og at der derfor ingen reelle løsninger er for x. Det skyldes, at man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal, som formlen herunder fordrer.
     
  • Eller måske er de to led lige store og da er der én løsning.

Men diskriminanten er kun første skridt på vejen mod løsninger for andengradsligningen. Når man har udregnet diskriminant D, skal man benytte følgende formel til at finde løsninger for x:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Diskriminantformlen er beskrevet ved;

\(D = b^2 – 4ac\).

Men det er kun halvdelen af udregningen, løsningerne findes først når D indsættes i formlen;

\(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\).

Da kvadratroden af D har to løsninger, når \(D > 0\), både en positiv og en negativ, er der to løsninger for x.

Løsning af andengradsligning med diskriminant

Lad os se på nogle eksempler, der kan være med til at øge forståelsen for diskriminanten, og hvad man kan bruge den til i forhold til antallet af løsninger. Blandt andet er der et eksempel hvor diskriminanten er 0 og et hvor diskriminanten er negativ:

Eksempel 1

\(8x^2 - 9x +1 = 0\)

\(a = 8, b = -9\) og \(c = 1\)

Først udregnes diskriminanten defineret ved formlen: \(D = b^2 – 4ac\):

\(D = (-9)^2 –  4 \cdot 8 \cdot 1 \Rightarrow D = 81 – 32 \Rightarrow D = 49\)

Diskriminanten er positiv og der er to løsninger, defineret ved \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\):

\(x = \frac{-(-9) \pm \sqrt 49}{2 \cdot 8} \Rightarrow x = \frac{9 ± 7}{16} \Rightarrow x = 1\) eller \(x = \frac{1}{8}\)

Løsningerne: \(x = 1\) eller \(x = \frac{1}{8}\)

Eksempel 2

\(3x^2 - 6x + 3 = 0\)

\(a = 3, b = -6\) og \(c = 3\)

Først udregnes diskriminanten defineret ved formlen: \(D = b^2 – 4ac\):

\(D = (-6)^2 – 4 \cdot 3 \cdot 3 \Rightarrow D = 36 – 36 \Rightarrow D = 0\)

Diskriminanten er 0 og der er én løsning. Når ligningen kun har en løsning kaldes denne en dobbeltrod.

Når \(D = 0\), går leddet \(\pm \sqrt {D}\) ud. Den generelle formel for den ene løsning ser således ud:

\[x = \frac{-b}{2a}\]

\(x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 3} \Rightarrow x = \frac{6}{6} \Rightarrow x = 1\)

Løsningen: \(x = 1\)

Eksempel 3

\(5x^2 - 7x + 4 = 0\)

\(a = 5, b = -7\) og \(c = 4\)

Først udregnes diskriminanten defineret ved formlen: \(D = b^2 – 4ac\):

\(D = (-7)^2 – 4 \cdot 5 \cdot 4 \Rightarrow D = 49 – 80 \Rightarrow D = -31\)

Diskriminanten er negativ og der er ingen reelle løsninger for x.

For flere eksempler på udregninger af en andengradsligning ved beregning af diskriminant, se artiklerne andengradspolynomium og parabel.