Parabel

En parabel er en geometrisk afbildning, der er symmetrisk omkring et såkaldt toppunkt, som enten kan være et maksimum eller et minimum.

Den grafiske afbildning minder om en mund, som enten er sur eller glad. En sur mund kaldes en konkav parabel, en glad mund kaldes en konveks parabel. 

Parabelkurver er meget almindeligt forekommende, og optræder blandt andet ved kastebevægelser. Banekurven for en genstand, der kastes skråt (ex. en kugle), er tilnærmelsesvis udtrykt ved en parabel, heraf begrebet en kasteparabel.

Eksempelvis atletikkens kuglestød, hvor parablens ene skæring med x-aksen (jorden) er længden på kastet. Den anden skæring med x-aksen er, hvor kuglen ville lande hvis kuglestøderen tabte den bagover (teoretisk). Toppunktet er det højeste sted kuglen befinder sig, og dermed det maksimum om hvilket en parabel er symmetrisk.

Herunder ses et eksempel på en kasteparabel med forskriften: \(f(x) = -0,05x^2 + x + 1,88\)

Kasteparabel

Som det fremgår ved simpel aflæsning af grafen, ville kuglestøderen i dette tænkte eksempel støde ca. \(22\) meter, og på toppunktet (efter ca. \(10\) meter) ville kuglen være lidt mere end \(6\) meter over jorden.

Den grafiske afbildning ses oftest som et udtryk for en funktion af et andengradspolynomium som herover. Derfor er en parabel og et andengradspolynomium tæt knyttet sammen. En parabel-ligning er derfor et andengradspolynomium. Dette benævnes også en forskrift for en parabel.

Forskrift for parabel

\(y = ax^2 + bx + c\)

\(a ≠ 0\), der ikke er tale om et andengradspolynomium hvis \(a = 0\) (det ville blot være udtryk for linjens ligning).

\(x\) er den ubekendte (opløftet i op til anden potens).

\(a, b\) og \(c\) er reelle konstanter og kaldes samtidig koefficienter (det er afgørende, at \(a\) altid er koefficienten foran \(x^2, b\) er altid foran \(x\) og \(c\) er en reel konstant).

Funktionsforskriften for et andengradspolynomium (der samtidig er en parabel formel) er:

\(p(x) = ax^2 + bx + c\)

En anden udgave af en parabel

Sådan kan en parabel med et minimum som toppunkt eksempelvis se ud:

Parabel med toppunkt som minimum

Man kan sige utrolig meget om en parabel, blot man kender forskriften og dermed koefficienterne. Der gælder nemlig en masse grundregler om en parabel - se artiklen andengradspolynomium for en gennemgang af disse generelle betingelser.

Når man arbejder med en parabel kan det være interessant at finde eventuelle skæringspunkter med x-aksen og toppunktet. En parabel har altid et toppunkt, mens den enten skærer x-aksen \(0,1\) eller \(2\) gange.

Eksempel

Som eksempel kan de eksakte værdier for kuglestødet udregnes med forskriften:

\(f(x) = -0,05x^2 + x + 1,88\)

Man udregner skæringen med x-aksen ved at sætte \(f(x) = 0\)

\(-0,05x^2 + x + 1,88 = 0\)

\((a= -0,05, b = 1 \)og \(c = 1,88)\).

Dette svarer til en andengradsligning og løses ved hjælp af diskriminanten.

Først skal man finde D, der er defineret:

  \(D = b^2 – 4ac\)
\(\Downarrow\)
  \(D = 1^2 – 4 \cdot (-0,05) \cdot 1,88\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 1 + 0,376\)
\(\Updownarrow\)
  \(D = 1,376\)

Da \(D > 0\) er der to skæringer med x-aksen.

  \(x = \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a}\)
\(\Downarrow\)
  \(x = \frac{-1 \pm \sqrt {1,376}}{2 \cdot (-0,05)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = \frac{-1 \pm 1,17}{-0,1}\)
\(\Updownarrow\)
  \(x = -1,73\) eller \(x = 21,73\)

Punkterne \((x_1,y)\) og \((x_2,y)\) for skæring med x-aksen er derfor: \((-1,73;0)\) og \((21,73;0)\).

Dermed kan det konkluderes at længden på kuglestødet faktisk er \(21,73\) meter.

For at finde kuglestødets toppunkt kan man bruge en toppunktsformel, se artiklen andengradspolynomium. Før toppunktet er kuglens kurve stigende, mens kuglens kurve efter toppunktet er faldende.

x-koordinat er defineret ved:

\(x = \frac{-b}{2a} ⇒ x = \frac{-1}{2 \cdot (-0,05)} ⇒ x = 10\)

y-koordinat er defineret ved:

\(y = \frac{-D}{4a} ⇒ y = \frac{-1,376}{4 \cdot (-0,05)} ⇒ y = 6,88\)

Toppunktet for denne kasteparabel er derfor: \((10; 6,88)\)

Det vil med andre ord sige at efter præcis \(10\) meter ’topper’ kuglen, på det tidspunkt er den \(6,88\) meter over jorden.

Parabel igennem 3 punkter

Hvis man derimod ikke kender forskriften for en parabel, kan denne udregnes, hvis man blot kender 3 punkter på parabel-buen. De tre punkter kaldes \((x_1,y_1), (x_2,y_2)\) og \((x_3,y_3)\). Man kan gøre det på to måder.

Enten ved at løse tre ligninger med tre ubekendte:

Tre ligninger med tre ubekendte:

\(y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c\)

\(y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c\)

\(y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c\)

Eller man kan simpelthen indsætte de tre koordinater direkte i denne formel (vær meget opmærksom):

\[y = \frac{(x - x_2)(x -  x_3)}{(x_1 - x_2)(x_1 - x_3)} \cdot y_1 + \frac{(x - x_1)(x -  x_3)}{(x_2 - x_1)(x_2 - x_3)} \cdot y_2​ + \frac{(x - x_1)(x -  x_2)}{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2)} \cdot y_3\]