Toppunktsformel

Toppunktsformlen er en formel, der beregner toppunktet af en parabel.

En parabel er grafen af et andengradspolynomium. Derfor beregnes toppunktet ud fra andengradspolynomiets variabler.

Et andengradspolynomium er opbygget således:

y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c

Det har altså tre variabler a, b og c, som kan aflæses ved at se på de tal, der står foran x2, x og konstanten (c). Hvis der ikke står et tal foran x2 eller x, er variablen lig 1.

For at udregne toppunktet har vi også brug for at kende andengradspolynomiets diskriminant D.

Diskriminanten har følgende formel:

\(D = b^2 - 4ac\)

Et andengradspolynomium har som nævnt altid et toppunkt, som både kan være et minimum eller et maksimum alt efter formen på grafen. 

En parabel, som er grafen af et andengradspolynomium, vender altid enten op eller ned. Enten går den fra at have y-værdier, der går mod uendelig, til y-værdier der igen går mod uendelig, hvilket giver en "smilende" graf, hvor parabelbenene vender opad (konveks parabel). Eller også går y-værdierne mod minus uendelig, hvilket giver en "sur" graf, hvor parabelbenene vender nedad (konkav parabel).

Man kan se hvilken graf, man har med at gøre, ved at kigge på værdien af a. Dette skyldes, at a står foran x2, som stiger og falder langt stærkere end de andre variabler og derfor vil overtage retningen på grafen, når man går ud fra toppunktet.

Når a er positiv, får man en "smilende" parabel, og når a er negativ, får vi en "sur" graf.

Toppunkt

I bunden eller toppen af parablen har vi toppunktet. Toppunktet er dermed også grafens ekstrema, og der hvor grafen skifter retning fra at stige til at falde eller fra at falde til at stige.

For den smilende parabel er toppunktet grafens minimum, og for den sure parabel er toppunktet grafens maksimum.

Toppunktets koordinater (x,y) kan beregnes ud fra formlen:

\(x = \frac{-b}{2a}\)

\(y = \frac{-D}{4a}\)

eller

Toppunktsformlen:

\[T = (\frac{-b}{2a}; \frac{-D}{4a})\]

Vi bruger altså de fire variabler, vi får fra andengradspolynomiet a, b, c og D, og udregner x og y koordinater for grafens toppunkt.

Som det fremgår ovenfor, er der, når \(D = 0\), én skæring med x-aksen, som samtidig er toppunkt. Man har derfor allerede y-koordinatet for toppunktet.

For at se udregningseksempler, hvor toppunktsformlen indgår, gå til artiklen Andengradspolynomium.

Bevis for toppunktsformlen

Vi vil nu lave et bevis for toppunktsformlen. Toppunktsformlen kan bevises på forskellige måder. Her beviser vi ved at differentiere. Vi bruger, at vi ved, at toppunktet for en parabel er et globalt ekstrema. Det er enten maksimum eller minimum.

I dette punkt skifter grafen fra at stige til at falde, eller fra at falde til at stige. Dette betyder, at parablens differentierede funktion skifter fortegn, og derfor må toppunktet være der, hvor den afledte funktion er lig 0. Det kan vi bruge i vores toppunktsformel-bevis.

Vi tager den generelle andengradsligning, her kaldet f(x), og differentierer den:

\\ f(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c \\ f'(x) = 2 \cdot a \cdot x + b

Da vi skal finde, hvor f'(x) er lig 0, kan vi skrive det som en ligning og isolere x.

\\2 a \cdot x + b = 0 \\x = -\frac{b}{2a}

Her har vi altså toppunktets x-koordinat. Vi kan nu finde y-koordinatet, ved at sætte det x vi har fundet ind i f(x).

y = f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\cdot \left (-\frac{b}{2a} \right )^2 + b\cdot \left (-\frac{b}{2a} \right ) + c

Vi isolerer y:

\\ y = a\cdot \frac{b^2}{4a^2} + b\cdot -\frac{2b}{4a} + \frac{4ac}{4a}

Først forlænges den anden brøk med 2.

Derefter laves c-variablen om til en brøk ved at forlænge med 4a.

Dette gør, at vi har samme nævner for alle tre brøker, så vi kan sætte dem sammen:

y = \frac{b^2}{4a} -\frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a}

I første brøk er a ganget med brøken og derefter forkortet væk i både tæller og nævner.

I anden brøk er b ganget med brøken.

y = \frac{-b^2+4ac}{4a} = - \frac{D}{4a}

Til sidst kan vi sætte diskriminanten D ind. Da diskriminanten har modsat fortegn, af det vi får, skal vi sætte et minus foran D for at skifte. Dermed er y-koordinatet lig minus diskriminanten divideret med 4a.

Således har vi altså bevist formlen for koordinaterne til toppunktet.

\text{Toppunkt} = \left (-\frac{b}{2a} ;- \frac{D}{4a} \right )