Annuitetslån

Annuitetslån er en del af hovedemnet annuitetsregning. En annuitetsberegning foretages for at udregne et fast beløb, inklusiv rente, som man skal betale pr. termin for at afbetale lånet. Gældsstørrelsen er under løbende påvirkning af både renten og afdragene.

Annuitetslån benyttes især ved et huskøb.

Når man køber et hus, låner man som hovedregel 20 % af beløbet i banken. De resterende 80 % låner man i et realkreditinstitut. Renten i banklånet kan variere, men realkreditlånet er oftest et annuitetslån.

I en annuitetsberegning betaler man (oftest) et fast beløb pr. måned på lånet, dette kaldes annuitetsydelsen. Dette beløb (ydelsen) dækker de renter der tilløber lånet, samt afdrag på selve gælden.

ydelse = rente + afdrag

I begyndelsen er en forholdsvis stor del af ydelsen renteomkostninger. Jo længere tid der går, desto mindre bliver renteomkostningerne og desto mere betaler man forholdsvist af på selve gælden. Logikken i det er naturligvis, når man skylder meget, er der store (procentvise) renteomkostninger. Jo længere tid der går, des mindre er beløbet der betales rente af og gradvist kommer afdragene til at fylde mere og mere af ydelsen. 

Annuitetslån formel

\[G = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\]

\(G\) er hovedstolen, den fulde størrelse på lånet

\(y\) er ydelsen pr. termin, det faste beløb man afbetaler

\(r\) er rentefoden pr. termin, angivet i decimaltal (diskonteringsrenten)

\(n\) er antallet af terminer lånet skal betales over

Formlen kendes på grund af forkortelserne som GRYN-formlen eller som gældsformlen.

Endvidere er det værd at bemærke, at r ikke kan isoleres og derfor kan r direkte (excel kan være behjælpelig). Hvis renten er den ukendte skal man prøve sig frem med forskellige værdier af r og komme så tæt på som muligt.

Denne formel gælder KUN, når der er præcis én rentetilskrivning og én ydelse pr. termin.

Hvis ikke, skal renten omregnes, så renten er angivet pr. termin. Hvis der er opgivet en rente med eksempelvis en kvartalsvis rentetilskrivning, men ydelsen skal betales pr. måned, skal renten omregnes til en månedsrente. Det gøres efter følgende formel:

\(r_{ny} = (1 + r)^{\frac{1}{i}} - 1\)

\(r\) er den opgivne rentesats

\(i\) er antal terminer pr. rentetilskrivning.

Ved en kvartalsvis rentetilskrivning med månedlige ydelser vil i således være 3.

Man kan også udregne den nuværende værdi på lånet med annuitetlånsformlen. I det tilfælde skiftes \(G\) (hovedstolen) oftest ud med (PV) (present value eller nutidsværdi):

\(PV = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\)

Hermed kan man løbende udregne, hvad der er tilbage af lånet. Husk, at n er det antal terminer, der er tilbage af lånet. Se eksempel 2.

Eksempel 1

Mathilde afdrager hver måned 8.475,74 kr. på sit huslån i realkreditinstituttet. Lånet er et annuitetslån af 20 års varighed med en rente på 5,16 % pr. år (r = 0,0516) med månedlig ydelser.

Først skal den månedlige rente udregnes (i = 12):

  \(r_{ny} = (1 + r)^{\frac{1}{i}} - 1\)
\(\Downarrow\)
  \(r_{ny} = (1 + 0,0516)^{\frac{1}{12}} - 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r_{ny} = 0,004201536 ≈ 0,0042\)

Hvad er den fulde størrelse på annuitetslånet i realkreditinstituttet?

\(r_{ny} = 0,0042\) (indsættes som r i formlen for annuitetslån)

\(n = 20 \cdot 12 = 240\)

  \(G = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\)
\(\Downarrow\)
  \(G = 8.475,74 kr. \cdot \frac{1 - (1 + 0,0042)^{-240}}{0,0042}\)
\(\Updownarrow\)
​  \(G = 8.475,74 kr. \cdot 151,0192081\)
\(\Updownarrow\) 
​  \(G = 1.279.999,54 kr.\)

Størrelsen på Mathildes annuitet i realkreditinstituttet må antages at være 1.280.000 kr. (afrundet)

Det vil sige, når Mathilde har betalt lånet ud, har det inklusiv renter kostet hende:

\(240 \cdot 8.475,74 kr. = 2.034.177,60 kr.\) 

Eksempel 2

Efter 5 år vil Mathilde gerne undersøge, hvor stort et beløb hun skylder på det oprindelige annuitetslån på 1.280.000 kr.

Her skal man i forhold til terminer tænke på, at efter 5 år af et 20-årigt lån er der 15 år tilbage. Man regner ikke ud, hvad man har betalt, men hvad der er tilbage af lånet.

\(y = 8.475,74\) kr.

\(r = 0,0042\)

\(n = 15 \cdot 12 = 180\)

Man skal benytte annuitetsformlen, men med PV indsat istedet for G:

  \(PV_5 = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\)
\(\Downarrow\)
  \(PV_5 = 8.475,74 kr. \cdot \frac{1 - (1 + 0,0042)^{-180}}{0,0042}\)
\(\Updownarrow\)
​  \(PV_5 = 8.475,74 kr. \cdot 126,122669\)
\(\Updownarrow\)
​  \(PV_5 = 1.068.982,95 kr.\)

Størrelsen på Mathildes lån er fortsat over en million efter 5 år, nærmere bestemt er lånets nutidsværdi = 1.068.982,95 kr.

Efter 5 har Mathilde betalt 60 månedlige ydelser:

\(60 \cdot 8.475,74 kr. = 508.544,40 kr.\) (ydelsen)

Men værdien af lånet er kun faldet fra:

1.280.000 kr. - 1.068.982,95 kr. = 211.017,05 kr. (afdrag)

Det vil sige, at annuitetlånets renteudgifter i de første 5 år har udgjort:

508.544,40 kr. - 211.017,05 kr. = 297.527,35 kr. (rente)

Efter 10 år vil Mathilde også gerne se, hvor stort et beløb hun fortsat skylder.

Efter 10 år mangler der 10 år:

\(n = 10 \cdot 12 = 120\)

  \(PV_{10} = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\)
\(\Downarrow\)
  \(PV_{10} = 8.475,74 kr. \cdot \frac{1 - (1 + 0,0042)^{-120}}{0,0042}\)
\(\Updownarrow\)
​  \(PV_{10} = 8.475,74 kr. \cdot 94,10777996\)
\(\Updownarrow\)
​  \(PV_{10} = 797.633,07 kr.\)

Størrelsen på Mathildes annuitet i realkreditinstituttet efter 10 år er 797.633,07 kr.

Efter halvdelen af tiden har Mathilde ikke tilnærmelsesvist betalt halvdelen (640.000 kr.) af sit annuitetslån, men kun: 1.280.000 kr - 797.633,07 kr. = 482.366,93 kr.

Igen efter 15 år vil Mathilde gerne undersøge hvor meget hun nu skylder.

Efter 15 år mangler der 5 år af det 20-årige lån:

\(n = 5 \cdot 12 = 60\) 

  \(PV_{15} = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\)
\(\Downarrow\)
  \(PV_{15} = 8.475,74 kr. \cdot \frac{1 - (1 + 0,0042)^{-60}}{0,0042}\)
\(\Updownarrow\)
​  \(PV_{15} = 8.475,74 kr. \cdot 52,93928187\)
\(\Updownarrow\)
​  \(PV_{15} = 448.699,59 kr.\)

Efter 15 år er nutidsværdien af Mathildes lån: 448.699,59 kr.

Dette eksempel er medtaget for at illustrere, at i begyndelsen af lånets løbetid er ydelsen primært renteomkostninger og i mindre grad afdrag på gælden. I slutningen af lånets løbetid er ydelsen primært afdrag og meget lidt renteomkostninger. 

Eksempel 3

Familien Andersen har købt et nyt hus. Huset kostede 1.795.000 kr. De låner 20 % af det beløb i banken og 80 % i et realkreditinstitut.

Hvor stort er familien Andersens annuitetslån i realkreditinstituttet?

\(\frac{1.795.000 kr.}{100 \%} \cdot 80 \% = 1.436.000 kr.\)

I realkreditinstituttet aftaler de, at lånet på 1.436.000 kr. skal afdrages månedligt over 20 år, til en månedlig rente på 0,55 % (r = 0,0055).

Hvad bliver den månedlige ydelse til realkreditinstituttet for familien Andersen?

Når det er ydelsen, der skal udregnes, skal formlen for annuitetslån omskrives:

  \(G = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\)
\(\Downarrow\)
  \(G \cdot r = y \cdot (1 - (1 + r)^{-n})\)
\(\Updownarrow\)
  \(G \cdot \frac{r}{1 - (1 + r)^{-n}} = y\)

Hovedstolen er således lånets samlede størrelse på 1.436.000 kr.

\(r = 0,0055\)

\(n = 20 \cdot 12 = 240\)

  \(y = G \cdot \frac{r}{1 - (1 + r)^{-n}}\)
\(\Downarrow\)
  \(y = 1.436.000 kr. \cdot \frac{0,0055}{1 - (1 + 0,0055)^{-240}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(y = 1.436.000 kr. \cdot 0,007514721\)
\(\Updownarrow\)
  \(y = 10.791,14 kr.\)

Familien Andersen skal afbetale 10.791,14 kr. pr. måned på deres huslån i dette annuitetslån.

Eksempel 4

Hr. Thorsen har købt et nedlagt landbrug, der koster 895.000 kr. Han har en opsparing på 100.000 kr., som han bruger som udbetaling. De resterende 895.000 kr. - 100.000 kr. = 795.000 kr. låner han i et realkreditinstitut som et annuitetslån. Den månedlige rente på lånet er 0,38 % (r = 0,0038).  Hr. Thorsen betaler hver måned en ydelse på 6.410,97 kr.

Hvor mange år tager det det Hr. Thorsen at afdrage annuitetslånet?

Når antal terminer skal udregnes, skal formlen for annuitetslån igen omskrives:

  \(G = y \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r}\)
\(\Downarrow\)
  \(G \cdot r = y \cdot (1 - (1 + r)^{-n})\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{G \cdot r}{y} = 1 - (1 + r)^{-n}\)
\(\Updownarrow\)
  \((1 + r)^{-n} = 1 - \frac{G \cdot r}{y}\)
\(\Updownarrow\)
  \(-n \cdot \log(1 + r) = \log(1 -\frac{G \cdot r}{y})\)
\(\Updownarrow\)
  \(n  = - \frac{\log(1 - \frac{G \cdot r}{y})}{\log(1 + r)}\)

Efter omskrivningerne, hvor man bl.a. benytter logaritmeregneregler, kan beregningerne foretages:

  \(n  = - \frac{\log(1 - \frac{G \cdot r}{y})}{\log(1 + r)}\)
\(\Downarrow\)
  \(n  = - \frac{\log(1 - \frac{795.000 kr. \cdot 0,0038}{6.410,97})}{\log(1 + 0,0038)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(n  = - \frac{\log(0,528776457)}{\log(1,0038)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(n  = 167,9998443 ≈ 168\)

Det er et annuitetslån, der løber over 168 måneder, omregnet til år: \(\frac{168}{12} = 14\) år.