"
>

Annuitetsopsparing

En annuitetsopsparing hører under annuitetsregning.

Læs mere om annuitetsregning og se en kort definition på annuitet på forsiden. Annuitetsregning udgøres foruden annuitetsopsparing af annuitetslån.

På en annuitetsopsparing opspares løbende. Modsat rentesregning, hvor man kun går i banken én gang, kan en opsparingsannuitet beregnes med utallige indbetalinger.

Annuitetsopsparing formel

\[A = b \cdot \frac{(1 + r)^n -1}{r}\]

\(A\) er kapitalmængden efter sidste indbetaling, annuiteten

\(b\) er terminsindbetaling

\(r\) er rentefoden som decimaltal

\(n\) er antal terminsindbetalinger

Med denne formel kan man med andre ord beregne slutkapitalen ved gentagne indbetalinger.

På samme måde som annuitetslånet gælder formlen KUN, hvis der er én rentetilskrivning og én indbetaling pr. termin.

Hvis den anførte rente ikke er pr. termin, skal renten omregnes. Hvis man kender renten pr. år, men terminsindbetalingerne er pr. måned, skal renten omregnes til en månedlig rente, efter følgende formel:

\(r_{ny} = (1 + r)^{\frac{1}{i}} - 1\)

\(r\) er den opgivne rentesats 

\(i\) er terminer pr. rentetilskrivning.

Med månedlige terminer, men er rente pr. år er \(i\) i dette eksempel \(12\).

I begyndelsen er rentetilskrivningerne forholdsvis små, men jo flere indbetalinger desto højere er det beløb der tilskrives renter. 

Herunder ser du de gængse omskrivninger af formlen for en annuitetsopsparing.

Hvis terminsindbetalingen er den ukendte:

\(b = \frac{A \cdot r}{(1 + r)^n -1}\)

Hvis antal teminer er den ubekendte:

\(n = \frac{ln(\frac{A \cdot r}{b} + 1)}{ln(1 + r)}\)

Bemærk, at renten \(r\) ikke kan isoleres, og derfor ikke udregnes direkte (excel kan være behjælpelig). I stedet må man forsøge sig med forskellige værdier for renten \(r\) og indsnævre så godt som muligt.

Eksempel 1

En bedstemor laver en uddannelsesopsparing til sit barnebarn Joakim. Bedstemoren indbetaler \(100\) kr. hver måned, indtil Joakim fylder \(18\) år, hvor annuitetsopsparingen udbetales efter en rentetilskrivning i samme måned. Banken giver \(1,25 \%\) i rente pr. år. (\(r = 0,0125\)). Hvor stor er denne annuitetsopsparing?

Først skal den årige rente omregnes, så den stemmer overens med terminsindbetalingerne som er månedlige.

  \(r_{ny} = (1 + r)^{\frac{1}{i}} - 1\)
\(\Downarrow\)
  \(r_{ny} = (1 + 0,0125)^{\frac{1}{12}} - 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r_{ny} = 0,001035746 ≈ 0,0010\)

Det er kapitalmængden \(A\) der skal udregnes:

\(b = 100 kr.\)

\(r_{ny} = r = 0,0010\) (indsættes som r i formlen for annuitetsopsparing)

\(n = 18 \cdot 12 = 216\)

  \(A = b \cdot \frac{(1 + r)^n -1}{r}\)
\(\Downarrow\)
  \(A = 100 kr. \cdot \frac{(1 + 0,0010)^{216} -1}{0,0010}\)
\(\Updownarrow\)
  \(A = 100 kr. \cdot 241,9293825\)
\(\Updownarrow\)
  \(A = 24.192,94 kr.\)

Bedstemorens annuitetsopsparing til Joakim har efter \(18\) år beløbet sig til \(24.192,94 kr.\)

Eksempel 2

Joakims anden bedstemor har også lavet en opsparing til ham. Den bliver først udbetalt det år Joakim fylder \(21\). På denne annuitetsopsparing giver banken \(1,52 \%\) i rente pr. år (\(r = 0,0152\)). Hvilket beløb har Joakims anden bedstemor indbetalt pr. måned, når opsparingen ved udbetalingen er \(59.260,32\) kr.?

Renten omregnes til en månedsrente da terminen er månedlig.

 \(r_{ny} = (1 + r)^{\frac{1}{i}} - 1\)
\(Downarrow\)
  \(r_{ny} = (1 + 0,0152)^{\frac{1}{12}} - 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r_{ny} = 0,001257927 ≈ 0,0012\)

Det er terminsindbetalingen \(b\) der skal udregnes.

\(n = 21 \cdot 12 = 252\)

\(r_{ny} = r = 0,0012\)

  \(b = \frac{A \cdot r}{(1 + r)^n -1}\)
\(\Downarrow\)
  \(b = \frac{59.260,32 \cdot  0,0012}{(1 + 0,0012)^{252} -1}\)
\(\Updownarrow\)
  \(b = \frac{74,54515531}{0,372725783}\)
\(\Updownarrow\)
  \(b = 199,9999965 ≈ 200\)

Joakims anden bedstemor har derfor indsat \(200\) kr. hver måned på denne annuitetsopsparing til Joakim.

Eksempel 3

En far beslutter, at hver gang hans datter har fødselsdag (30. december), vil han indsætte \(1.500\) kr. på en hemmelig opsparing til datteren. Banken giver \(1.65 \%\) i årlig rente \((r =0,0165)\).

Datteren vil gerne ud at rejse i nogle måneder efter gymnasiet, og faren afslører sin hemmelige annuitetsopsparing. Den samlede kapitalmængde er \(35.202,49\) kr. Hvor gammel er datteren?

  \(n = \frac{ln(\frac{A \cdot r}{b} + 1)}{ln(1 + r)}\)
\(\Downarrow\)
  \(n = \frac{ln(\frac{35.202,49 kr. \cdot 0,0165}{1.500 kr.} + 1)}{ln(1 + 0,0165)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(n = \frac{ln(1,387227404)}{ln(1,0165)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(n = 20\)

Datteren er \(20\) år, da hun får sin annuitetsopsapring.