"
>

Grænseværdi

Grænseværdi er et matematisk begreb, der beskriver hvad der sker med et udtryk eller en funktion, når vi lader en variabel gå mod en bestemt værdi. Oftest vil den værdi vi lader variablen gå i mod være udefineret for funktionen.

I de fleste tilfælde vil man undersøge en værdi, der ikke er defineret, fordi den betyder at der bliver divideret med nul. Man kan bruge grænseværdien til at se om funktionen går mod en bestemt grænseværdi, når vi nærmer os den udefinerede værdi.

Grænseværdi ser i matematik således ud:

\lim_{x\rightarrow a}f(x)

Dette udtryk er lig værdien af f(x) når vi lader x gå mod a. Bemærk pilen fra x til a, som betyder x gående mod a. I nogle tilfælde bliver udtrykket brugt alene:

f(x) \rightarrow y \; \text{for } x \rightarrow a

Altså funktionen f(x) går mod y, når x går mod a.

Grænseværdi benyttes indenfor differentialregning, da man kan finde differentialkvotienten ved at finde grænseværdien af differenskvotienten som er knyttet til sekanten.

Grænseværdier eksisterer ikke altid, da der er nogle funktioner der ikke går mod en bestemt værdi. Ofte har man at gøre med funktioner, der stiger eller falder mod uendelig eller minus uendelig. I disse tilfælde kan man få en grænseværdi, som er lig uendelig \((\infty)\) eller minus uendelig \((-\infty)\).

L'Hopital

Man kan udregne grænseværdier på forskellige måder. Den mest brugte metode er ved L'Hopitals regel. L'Hopitals regel siger grundlæggende, at hvis man har en brøk, hvor tæller og nævner går mod nul eller uendelig, når x går mod en værdi a, så vil denne brøk have samme grænseværdi, som hvis vi differentierer tæller og nævner:

\\\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = c\\

\lim_{x\rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c

Dette betyder at hvis vi har en brøk, der opfylder ovenstående betingelser kan vi differentiere tæller og nævner for at få resultatet af grænseværdien. Se de to eksempler.

Eksempel 1

Vi har først et eksempel, hvor vi lader x gå mod nul og ser hvad der sker når med en brøk:

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{2x}

Da både tæller og nævner går mod nul kan vi brue L'Hopital:

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{2x} = \frac{(x)'}{(2x)'} = \frac{1}{2}

Parentes med mærke efter betyder differentieret.

Hvis man bare satte nul ind i brøken som den var, ville man få nul divideret med nul, som ikke har nogen værdi. Men da vi tager grænseværdien, kan vi finde at \(\frac{v}{2x}\) går mod ½, når x går mod 0.

Eksempel 2

I dette eksempel har vi den trigonometriske funktion sinus i en brøk:

\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{(\sin(x))'}{(x)'} = \frac{\cos(x)}{1} = \frac{\cos(0)}{1} = \frac{1}{1} = 1

Igen kan man ikke bare dividere med nul, selvom tælleren ikke går mod nul (sinus af nul er et), men hvis vi tager grænseværdien og bruger L'hopital-reglen får vi, at grænseværdien er én.