"
>

Kontinuitet

Kontinuitet er en egenskab i matematik, der betyder at en funktions graf ikke har nogen hop. En graf er altså kontinuert, hvis den er sammenhængende og ikke pludselig hopper fra et punkt til et andet, uden punkter i mellem. Man skal altså kunne følge grafen med en blyant, uden at skulle løfte blyanten fra papiret på noget tidspunkt.

Man kan også sige at grafen er kontinuert, hvis en lille ændring i x-værdi altid giver en forholdsvis lille ændring i y-værdi.

Kontinuitet benyttes især i differentialregning.

Den modsatte egenskab af kontinuitet er diskontinuitet, hvilket så betyder af grafen har hop.

En måde at lave en kontinuitetstest på en funktion i et bestemt punkt, er ved at sammenligne værdien og grænseværdien i dette punkt. For punktet a i funktionen f(x):

\lim_{x\rightarrow a} f(x) = f(a)

Altså hvis grænseværdien af f(x) for x gående mod a er lig f(a), så er funktionen kontinuert i dette punkt.

Kontinuert funktion

En kontinuert funktion er en funktion, der er kontinuert i hele dens definitionsmængde. Hvilket vil sige, at den skal være kontinuert over hele dens graf. Hvis eksempelvis, en funktions graf har ét hop, kan den godt være kontinuert i alle dens punkter undtagen det punkt, hvor den hopper, men funktionen vil ikke være kontinuert.

Eksempel 1

Vi viser to kontinuerte funktioner.


Eksempel på kontinuert funktion. Denne graf viser andengradsligningen \(x^2 - 3x = 0\).

Som man kan se er kurven glat og uden hop, og det er den over hele definitionsmængde, som for denne funktion er alle tal. Faktisk er alle polynomier (link) kontinuerte.


Andet eksempel på kontinuert funktion. Grafen viser den absolutte værdi af den naturlige algoritme.

Denne graf ser lidt mere speciel ud, og har et knæk ved x = 1, men den er stadig kontinuert, da der ikke er nogen hop i dens definitionsmængde.

Eksempel 2

Vi viser et eksempel på en diskontinuert funktion.


Grafen viser funktionen \(\frac{1}{x}\). Funktionen er diskontinuert.

Denne funktion er diskontinuert, fordi grafen hopper i punktet x = 0 og altså har en diskontinuitet.