Areal af cirkel

Areal af en cirkel er et mål for hvor meget cirklen fylder i det todimensionelle rum. For trekanter og firkanter, og de fleste andre figurer i geometrien, regnes arealet ved hjælp sidelængderne. Men da en cirkel ikke har nogen sider, bliver vi nødt til at regne på en anden måde. Det viser sig at, ligesom diameter og omkreds har et konstant forhold i en cirkel, er der også et forhold mellem radius og areal. Se endvidere artiklen Omkreds af cirkel.

Areal af cirkel regnes i kvadratmeter (kvadratcentimeter), hvilket betyder at areal i kvadratmeter siger, hvor mange kvadrater på én gange én meter en figur fylder. En cirkels kvadratur er et kvadrat der har samme areal som cirkelen. At løse cirklens kvadratur er umuligt at gøre i hånden, fordi forholdet mellem radius og areal af cirkelen, tallet \pi (pi), er et specielt tal, som kaldes transcendent. Når vi kender \pi og radius af en cirkel, er det dog ikke noget problem at udregne areal af en cirkel og lave cirklens kvadratur.

Radius af cirkel

Radius er længden fra centrum til periferi i en cirkel. Vi vil i de fleste tilfælde kende radius af en given cirkel, da cirkler er defineret ud fra radius og centrum punktet.


Cirkel radius.

Ellers kan radius måles med lineal, som længden af linjestykket, fra centrum ud til hvilket som helst sted på periferien.

Når vi kender radius kan vi udregne areal af en cirkel. Arealet er tallet \pi gange radius r i anden potens (man kan også sige radius kvadreret). Vi har altså denne formel for areal af en cirkel:

areal = \pi \cdot r^2

Cirkeludsnit

Et cirkeludsnit er som navnet siger et 'udsnit' af en cirkel mellem to radius-linjer. Et cirkeludsnit kaldes også en 'sektor'.


Cirkeludsnit.

Størrelsen af et cirkeludsnit er defineret af vinkelen, θ (udtales theta), mellem de to radius-linjer. Længden af periferien i cirkeludsnittet kaldes buelængde. Buelængden, l, regnes ved:

l = r \cdot \theta \cdot \frac{\pi}{180^\circ}

Areal af cirkeludsnit

Arealet af cirkeludsnit regnes ved at gange radius i anden potens med vinkelen i radianer og dividere med to. Så formlen for areal af cirkeludsnit er:

areal = \frac{r^2 \cdot \theta \cdot \pi}{360^\circ}

Med denne formel kan vi nemt finde areal af en halvcirkel. En halvcirkel er et cirkeludsnit hvor de to radius-linjestykker ligger 180 grader fra hinanden (halvdelen af hele cirklens vinkelsum på 360 grader). Hvis man sætter 180 ind i den ovenstående formel, får man \(\frac{180}{360}\), hvilket er lig med \(\frac{1}{2}\). Så arealet af en halvcirkel med radius, r, er:

areal = \frac{r^2 \cdot \pi}{2}

Se eksempel 2 for yderligere forklaring.

Cirkelafsnit

Et cirkelafsnit er et område af en cirkel mellem periferien og en korde i cirklen. Det område der er markeret med rødt på figuren herunder:


Cirkelafsnit.

En korde er et linjestykke mellem to punkter på periferien.

Areal af cirkelafsnit

Arealet af cirkelafsnit kan regnes med følgende formel:

areal = \frac{r^2}{2} \cdot \left ( \frac{\theta\cdot\pi}{180} - \sin(\theta)\right )

Se eksempel 3 for yderligere forklaring.

areal = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 = 40,5

Cirkelring 

En cirkelring er et område mellem to cirkler med samme centrum men forskellig radius. Se figuren herunder:


Cirkelring.

Når man kender radius for begge, R for den største og r for den mindste, kan vi udregne arealet af cirkelringen med formlen:

areal = \pi \cdot (R^2 - r^2)

Eksempel 1

I første eksempel har vi en cirkel med en radius på 9.


Eksempel cirkel med 9 i radius.

Vi udregner areal af cirklen:

areal = \pi \cdot 9^2 = \pi \cdot 81 = 254,47

Eksempel 2

I dette eksempel har vi en cirkel med samme radius, men vi har lavet et udsnit mellem to radius-linjestykker med en vinkel på 90 grader.


Cirkeludsnit med vinkel på 90 grader

Så kan vi udregne arealet af cirkeludsnittet til:

areal = \frac{9^2 \cdot 90^\circ \cdot \pi}{360^\circ} = \frac{81 \cdot \pi}{4} = \frac{254,47}{4} = 63,62

Eksempel 3

I sidste eksempel, har vi benyttet et cirkelafsnit fra cirkeludsnittet i eksempel 2. 


Cirkelafsnit

Korden går mellem de to punkter hvor radius-linjerne rører periferien. Der er igen 90 grader mellem de to linjer. Vi bruger formlen for areal af cirkelafsnit:

areal = \frac{9^2}{2} \cdot \left ( \frac{90^\circ \cdot \pi}{180^\circ} - \sin(90^\circ)\right ) = \frac{81}{2} \cdot \left ( \frac{\pi}{2} - 1 \right ) = 40,5 \cdot 0,57 = 23,12

Som kontrol kan man beregne det område der er tilbage i cirkelafsnittet (det område der på figuren herover, ikke er skraveret). 

I dette tilfælde er det en retvinklet trekant, som samtidig er en ligebenet trekantArealet af en trekant der er retvinklet kan nemt beregnes, da man både kender højde og grundlinje, h = 9 og g = 9. De indsættes i arealformlen for en trekant:

A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 = 40,5

Summen af arealet for cirkelafsnittet og arealet af trekanten er: 23,12 + 40,5 = 63,62.

63,62 er netop arealet af hele cirkeludsnittet, som beregnet i eksempel 2.