Funktionsforskrift

En funktionsforskrift er det matematiske udtryk, der beskriver en funktion.

Hvad er en funktionsforskrift?

En funktion har altid en såkaldt uafhængig variabel. En uafhængig variabel er det tal, man giver funktionen. For de fleste funktioner kalder vi den uafhængige variabel for x.

En funktionsforskrift vil derfor altid være et udtryk, der bestemmer, hvad der sker med den uafhængige variabel. For eksempel:

f(x) = 3\cdot x + 2

Ovenstående er en funktionsforskrift, der definerer funktionen f(x). Den fortæller os, hvad der sker med x, når vi giver det til funktionen. Her siger funktionsforskriften, at x ganges med tre og får to lagt til.

For at bruge funktionen skal man altså give den et tal, og dette tal vil så blive sat på x's plads i funktionsforskriften. Vi kalder dette at evaluere funktionen. Hvis vi for eksempel lader x være fire:

f(4) = 3\cdot 4 + 2 = 14

Denne funktion giver altså 14, når vi lader x være fire. Det er vigtigt, at man er konsekvent og finder alle x i funktionen og skifter ud med tallet. Hvis man for eksempel har funktionen:

f(x) = \sqrt{x + 6} \cdot x + x

Denne funktionsforskrift har tre x-variabler på højre side, så når vi skal evaluere funktionen og finde funktionsværdien for et bestemt x, skal vi sætte dette tal ind alle de steder, hvor der står x i funktionsforskriften.

Hvis vi lader x være tre, får vi:

f(3) = \sqrt{3 + 6} \cdot 3 + 3 = \sqrt{9} \cdot 3 + 3 = 3\cdot 3 + 3 = 9+3 = 12

Vi sætter tre ind alle steder, der står x, og får 12 tilbage som resultat.

Opstille en funktionsforskrift

Nu ved vi altså, hvordan man evaluerer en funktion ud fra dens funktionsforskrift, men hvordan giver man funktionen en forskrift i første omgang? Funktionsforskriften kommer an på det forhold, funktionen beskriver.

Hvis vi for eksempel har en funktion, der skal vise prisen på en vis mængde kartofler, kan vi lave funktionsforskriften ud fra kiloprisen. Lad os sige, at ét kilo kartofler koster 10 kr. Vi kan lave en funktion, som giver os prisen for et hvilket som helst antal kilo.

Vi lader den uafhængige variabel være antal kilo, vi vil have prisen på, og vi kalder variablen for x. Vi ved, at ét kilo koster 10 kr. Altså skal funktionen give 10, når vi lader x være 1.

Vi ved, at forholdet mellem prisen og antal kilo kartofler er proportionelt, altså jo flere kilo kartofler vi køber, desto højere er prisen. Derfor skal vi altid, for at få den samlede pris, gange antal kilo med kiloprisen.

Altså må vores funktion have forskriften:

f(x) = 10\cdot x

Vi har altså lavet forskriften for en funktion, som giver os prisen for et vilkårligt antal kilo kartofler.

Måden, man kommer frem til forskriften på en funktion, kan variere meget, alt efter hvad funktionen viser.

En anden fremgangsmåde for at lave funktions forskrifter er, at man har fået givet en mængde x-værdier og y-værdier for en bestemt relation og laver et matematisk udtryk, som giver de samme værdier.

x- og y-værdierne kan man få givet i et såkaldt sildebensskema. Når man har disse værdier, kan man så lave det, man kalder lineær regression, hvor man analyserer sig frem til en forskrift ud fra x- og y-værdierne. Nedenstående viser et eksempel på dette.

Eksempel

Vi har fået givet følgende sildeben og skal finde forskriften for dens funktion f:


Sildebensskemaet viser x- og y-værdier stillet op over for hinanden.

Vi har altså seks par af x- og y-værdier, som beskriver en bestemt funktion. Der findes forskellige måder at lave disse tal om til en funktionsforskrift.

I fysik, kemi og andre fags opgaver vil de talpar, man får givet, ofte komme fra et eksperiment, hvilket betyder, at man ikke kan være sikker på, at de passer sammen med en 'pæn' funktion.

I det tilfælde vil man i mange tilfælde indsætte tallene i Excel og lade programmet finde den funktionsforskrift, der ligger tættest på tallene.

I dette tilfælde ved vi dog, at tallene kommer fra en funktion, og derfor vil vi bare finde funktionen ved at kigge på tallene og prøve os frem.

I en opgave som denne handler det om at finde et mønster i tallene. Det første vi vil kigge på er funktionstilvæksten.

Vi kan se, at begge talrækker er stigende. Altså når vi giver funktionen et højere x, får vi også et højere y tilbage.

Vi kan dog se, at y-værdierne stiger langsommere end x-værdier. Fra første til sidste værdi stiger x med 14 (16 - 2 = 14), men y stiger kun med 7 (9 - 2 = 7).

Det giver os dog allerede en del af forskriften. Vi ved, at 7 er halvdelen af 14 (7 * 2 = 14). Altså stiger y-værdierne halvt så meget, som x-værdierne stiger.

Dette kan vi skrive som:

f(x) = 0,5 \cdot x

Vi er dog ikke færdige endnu. For hvis vi sætter x-værdierne ind i denne funktion, får vi ikke de rigtige funktionsværdier tilbage. Lad os sætte nogle af tallene ind, og se hvad vi får:

f(2) = 0,5\cdot 2 = 1 \;\;\;\;,\;\;\;\; f(4) = 2 \;\;\;\;,\;\;\;\; f(10) = 5

Det er altså ikke de rigtige funktionsværdier, men til gengæld kan vi se, at problemet er det samme for alle tallene. De er alle én mindre end de korrekte y-værdier.

Altså skal vi lægge én til i vores funktion:

f(x) = 0,5 \cdot x + 1

Nu passer alle tallene, og vi har altså fundet vores funktion.