Symmetriakser

Symmetriakser er linjer trukket igennem figurer, som får den ene side til at være en spejling af den anden. Symmetriakser kaldes derfor også for spejlingsakser.

Symmetrisk figur med en symmetriakse markeret med striplet linje.

Som man kan se på ovenstående figur, ser figuren altså ligedan ud på begge side af den stiplede symmetriakse.

En figur kan have flere end én symmetriakse.

Alle figurens symmetriakser er markeret som stiplede sorte linjer. Den røde linje er ikke en symmetriakse.

På ovenstående figur (firkant) er alle figurens symmetriakser markeret. Udover disse er der også en rød linje, som ikke er en symmetriakse.

Man kan også sige, at en symmetriakse er en linje, som bibeholder symmetrien i en figur. På ovenstående figur giver alle de symmetriakser, vi tilføjer, stadig en symmetrisk figur, hvorimod den røde linje ødelægger symmetrien i figuren og er derfor ikke en symmetriakse.

For at vide helt præcist om en linje er en symmetriakse, skal man tage hvert punkt i figuren og gå vinkelret ind om linjen. Hvis der for hvert punkt er et tilsvarende punkt lige langt vinkelret ud fra linjen på den anden side, er linjen en symmetriakse.

Hvert punkt på den ene side af den stiplede symmetriakse ligger lige langt fra på den anden side.

Ovenstående figur viser, hvordan de røde punkter på den ene side af symmetriaksen ligger lige så langt fra symmetriaksen som de blå punkter overfor.

Hvis en figur har en symmetriakse, kan vi altså kalde den symmetrisk. Hvis der for en figur ikke kan tegnes nogen symmetriakser, er figuren asymmetrisk.

To figurer er vist, den ene er symmetriakse med en stiplet symmetriakse, den anden er asymmetrisk, og den stiplede røde linje er ikke en symmetriakse.

Ovenstående viser to figurer. Den venstre er symmetrisk omkring den striplede symmetriakse, og den højre er asymmetrisk.

Der gælder for alle regulære polygoner, at de har lige så mange symmetriakser, som de har har sider.

Vi så for eksempel dette i den anden figur, som viste en firkant med alle fire symmetriakser indtegnet. På samme måde har en femkant 5 symmetriakser og en sekskant har 6 symmetriakser.

Man kan også tale om symmetri af funktioner. Et eksempel er de trigonometriske funktioner, som har en række symmetriske relationer.

Et eksempel er:

Her er v en hvilken som helst vinkel. Ligningen siger altså, at hvis vi skifter fortegn på vinklen, er det det samme som at skifte fortegn på funktionen.

For eksempel:

Sinus af 90 grader og -90 grader illustreret på enhedscirklen.

På ovenstående figur er indtegnet resultatet af at tage sinus af 90 grader og -90 grader på enhedscirklen.

Det røde og det blå punkt ligger altså symmetrisk overfor hinanden med x-aksen som symmetriakse.

At skifte fortegn på sinus betyder altså at punktet bliver spejlet, og derfor er relationen symmetrisk.