"
>

Ligninger

Ligninger er matematiske udtryk, der indeholder et lighedstegn. Ligning på engelsk er equation.

Hvad er en ligning?

Udover at ligninger altid har et lighedstegn, er det, der oftest definerer en ligning, at de indeholder en eller flere variabler.

En variabel er et tal, som kan variere. En variabel kan give forskellige værdier. Variabler har altid et navn. Det mest brugte navn er x, som vi kender det fra funktioner.

Det er ofte variablerne i en ligning, som gør den interessant.

Et eksempel på en ligning:

5 \cdot x = 25

Denne ligning siger, at 5 gange variablen x er lig 25. At løse denne ligning betyder, at vi finder ud af hvilken værdi, x skal have, for at denne ligning er sand.

Hvis vi for eksempel siger, at x er lig med 1, kommer der til at stå 5 gange 1 lig 25, hvilket ikke er korrekt.

Husk at der altid skal stå samme tal på hver side af et lighedstegn for at en ligning er sand.

For at finde ud af hvad x skal være, isolerer vi x. Det betyder, at der kun står x på den ene side af lighedstegnet.

Regler for ligninger

For at isolere bruger vi de grundlæggende regler for lighedstegn, nemlig at man kan gange, dividere, lægge sammen og trække fra i ligningen, så længe man bare gør det samme på hver side af lighedstegnet.

Så for at isolere x skal vi 'fjerne' 5-tallet, der er ganget på. Det gør man ved at dividere med 5. 5 divideret med 5 er 1, og 1 x er det samme som x.

For at følge reglerne skal vi også dividere den anden siden af lighedstegnet med 5. 25 divideret med 5 er lig 5:

\frac{5\cdot x}{5} = \frac{25}{5}

x = 5

Altså er løsningen på ligning x = 5.

Denne ligning var ret nem at løse, men ligninger kan se ud på mange forskellige måder, og derfor er der også mange forskellige fremgangsmåder for at løse dem.

Vi vil nu vise løsningen på forskellige ligninger.

Ligning med parentes

Vi vil nu se på et eksempel på en ligning, hvor variablen er inde i en parentes:

(x + 8) \cdot 3 = 30

Man løser denne ligning ligesom det første eksempel ved at isolere x. Det første, man skal gøre, er, at 'fjerne' det 3-tal der er ganget på parentesen:

\newline \frac{(x + 8) \cdot 3}{3} = \frac{30}{3} \newline \Updownarrow \newline (x + 8) = 10

Nu står der kun parentesen på venstre side, hvilket betyder, at vi kan fjerne den.

For at isolore x skal vi have fjernet det 8-tal, der er lagt til på venstresiden. Det gør vi ved at trække 8 fra på begge sider af lighedstegnet:

x + 8 - 8 = 10 - 8

x = 2

Altså løsningen er x = 2.

Ligning med potens

Ligninger, hvor der indgår potenser, kan løses ved at bruge en passende rod.

For eksempel:

4x^2 - 12 = 0

I denne ligning har vi variablen x i anden potens.

Bemærk at vi har nul på højre side af lighedstegnet. Ofte vil man få ligninger på denne form, da det kan gøre dem mere overskuelige.

Det første, man gør for at finde værdien på x, er at trække 12-tallet over på højre side:

4x^2 = 12

Når man lægger 12 til på begge sider, forsvinder det negative 12-tal på venstresiden, og man har nu 12 på højre side. Næste skridt er at dividere med 4 på begge sider:

\newline \frac{4x^2}{4} = \frac{12}{4} \newline \Updownarrow \newline x^2 = 3

Til sidst tager vi kvadratroden på begge sider for at få værdien af x:

x = \pm\sqrt{3} = \pm 1,732..

Løsningen på denne ligning er altså \(\pm\) kvadratroden af 3.

Ligning for linje

Der findes mange vigtige ligninger. En af de mest kendte er en ligning for en ret linje, som har formen y = ax + b.

En ligning for linje har to variabler, hvilket betyder, at når vi giver den ene en værdi, kan vi udregne værdien af den anden.

For en linje giver man ligningen x værdien og får y værdien tilbage, så man kan tegne punktet ind i et koordinatsystem (link). Læs meget mere om linjens ligning her.