"
>

Lineær funktion

En lineær funktion er en af matematikkens mest basale værktøjer. En lineær funktion benyttes utroligt mange steder, især indenfor økonomi er en lineære funktioner meget anvendelige. En lineær funktion er faktisk en såkaldt \(1.\) gradsfunktion. Men da x er opløftet i \(1.\) grad skriver man det ikke, da en faktor opløftet i første grad er det samme som faktoren i sig selv \((x^1 = x)\).

En lineær funktion består af to konstanter, \(a\) og \(b\). Derudover af en uafhængig variabel \((x)\). Da en lineær funktion netop er en funktion, opstilles den på følgende formel:

\[f(x) = ax + b\]

\(f(x)\) er funktionsværdien og kan grafisk aflæses på \(2\). aksen

\(x\) er den uafhængige variabel og aflæses grafisk på x-aksen/ \(1\). aksen

\(a\) er en konstant og beskriver en lineær funktions hældningskoefficient

\(b\) er en konstant og udtryk for en lineær funktions skæringspunkt med \(2\). aksen

Lineære funktioner har en definitionsmængde og en værdimængde indeholdende alle de reelle tal, det vil sige:

\(Dm (f) = R\)

\(Vm (f) = R\)

En lineær funktion er potentielt en uendelig mængde punkter, der alle ligger på en ret linje. Sagt med andre ord er en lineær funktion én streg, der kan tegnes ved hjælp af en lineal, som forbinder punkter. Det betyder, at man til en x-værdi i definitionsmængden kan finde den tilhørende funktionsværdi, f(x) og omvendt. Når x-værdien ændrer sig, så ændrer funktionsværdien sig tilsvarende. En lineær funktion er netop en funktion, fordi der hører én og kun én funktionsværdi til hver x-værdi.

Det giver ikke altid mening at have en uendelig definitionsmængde, nogle gange er definitionsmængden afgrænset til eksempelvis de naturlige tal \(N\). Det, der definerer en lineær funktion, er, hvis hvert tal i definitionsmængden og dets tilhørende funktionsværdi som punkter ligger på en ret linje i et koordinatsystem.

Eksempler på lineære funktioner

Lineære funktioner er karakteriseret ved at være rette linjer, når de indtegnes i et koordinatsystem. Herunder er de lineære funktioner f(x) og g(x) indtegnet.

\(f(x) = 0,25x + 3\)

\(g(x) = 0,25x\)

Figur 1.

Lineær funktioner

Som det ses, har de to rette linjer den samme hældning idet \(a = 0,25\) for både f(x) og g(x). Når to lineære funktioner har samme hældning er de altid parallelle.

For f(x) er \(b = 3\) og det betyder, at grafen for f(x) skærer y-aksen i punktet \((0,3)\). Alle lineære funktioner siges samtidig at være monotone. Når b er positiv som her, er funktionen monotont voksende/stigende (var b negativ ville funktionen være monotont aftagende). 

Grafen for g(x) går igennem punktet \((0,0)\), også kaldet origo. Når en lineær funktion går igennem origo, dvs. når \(b = 0\), siges en funktion, foruden at være monotont voksende, at være ligefrem proportional. a siges i dette tilfælde også at være proportionalitetsfaktoren.

Stykkevis lineær funktion

En stykkevis lineær funktion er, som navnet antyder, en funktion, der er lineær i visse intervaller, men hele funktionen er ikke en lineær funktion. Det er kun i nogle intervaller, at funktionen kan opstilles på linjens ligning. Herunder ses et eksempel på en stykkevis lineær funktion:

Figur 2.

1 1 x f(x) f
Eksempel på en stykkevis lineær funktion

Denne stykkevise lineære funktion kan opstilles på følgende måde:

\(f(x) = -2x\)           for \(x ≤ 1\)

\(f(x) = x\)                 for \(x > 1\)

Stykkevise lineære funktioner har præcis de samme karakteristika som lineære funktioner. Blot kun i et interval, der enten kan være begrænset, eller som i dette eksempel ubegrænset (for \(x ≤ 1\)) og for \(x > 1\)).

Tilnærmelsesvis lineære funktioner

Lineære funktioner er defineret ved, at alle de punkter man kan finde ved hjælp af funktionsforskriften befinder sig på en ret linje. Tilnærmelsesvise lineære funktioner er talsæt, der når de afbildes grafisk i et koordinatsystem NÆSTEN ligger på en ret linje. Eller med andre ord tilnærmelsesvis ligger på en ret linje. Pr. definition er det en aktuel vurdering fra gang til gang, om grafiske afbildninger af et talsæt er udtryk for tilnærmelsesvis lineære funktioner.

Det kunne eksempelvis være følgende talsæt:

69

102

120

144

162

177

202

278

3116

4241

5418

6278

6865

7782

8645

12047

Når disse punkter indtegnes i et koordinatsystem, ser det således ud.

Figur 3.

Punkter for tilnærmelsesvis lineær funktion

Som det fremgår, danner punkterne ikke en ret linje og der er derfor ikke tale om en lineær funktion. Men meget kunne tyde på, at dette talsæt er en tilnærmelsesvis lineær funktion. Det er en vurdering, som kan blive lettere at afgøre, hvis man tegner den bedste rette linje. I hånden kan man prøve at flytte lidt på linealen og finde den rette linje, der bedst repræsenterer alle punkter. I alle tegneprogrammer findes der en funktion, der hedder ’bedste rette linje’. Den bedste rette linje er indtegnet herunder:

Figur 4.

TIlnærmelsesvis lineær funktion, ret linje tegnet

Da punkterne ligger tæt på den rette linje, er den endelige vurdering, at talsættet er en tilnærmelsesvis lineær funktion. Den er givet ved funktionsforskriften:

\(f(x) = 42,89x + 76,67\)

Funktionsforskriften for tilnærmelsesvis lineære funktioner udregnes ved at udvælge to nye faktiske punkter på grafen for de tilnærmelsesvis lineære funktioner. Derefter går man frem på samme måde som med lineære funktioner og finder frem til linjens ligning. Med et CAS-værktøj (eksempelvis TI-89) kan man i dette tilfælde også beregne ved hjælp af lineær regression.

Opgaver med lineære funktioner

1)

Thomas elsker at gå i biografen. Prisen for en biografbillet er \(75\) kr. Hver gang Thomas går i biografen køber han derudover popcorn og en cola. Popcorn og en cola koster \(73\) kr. Det vil sige, at en tur i biografen hver gang koster \(75\) kr. \(+ 73\) kr. = \(148\) kr.

a) Hvordan opstilles Thomas’ omkostninger til biografture som en lineær funktion?

\(p(x) = 148x\)

\(x\) er antallet af biografture

\(p(x)\) er den pris Thomas betaler i alt for sine biografture

b) Thomas går i biografen knap to gange pr. måned, så han regner med ca. \(20\) ture på et år. Hvad koster det Thomas at gå i biografen pr. år?

\(p(20) = 148 \cdot 20 = 2.960\)

Det koster dermed Thomas \(2.960\) kr. at gå i biografen pr. år. 

c) Hvad kan man ellers sige om denne lineære funktion, inden den indtegnes i et koordinatsystem?

For det første er det værd at bemærke, at det ikke giver mening at tale om negative værdier, da \(0\) er det minimum antal gange som Thomas kan gå i biografen. Dermed er Dm(p) = N. Samtidig er Vm (p) = N.

Endvidere er hældningen \(a = 148\). Jo større a er, desto stejlere er grafen. Det korrigeres grafisk ved at regulere værdierne på akserne, så det passer til de værdier man arbejder med.

Da \(b = 0\) og grafen p(x) går gennem origo, siges Thomas' omkostninger til biografture at være ligefrem proportional. Proportionalitetsfaktoren er \(148\).

Figur 5.

Lineær funktion, opgave 1

2)

Sælgeren Martin arbejder for en internetvirksomhed og er provisionslønnet. Det betyder, at han får en grundløn og derudover provision for det antal kunder han skaffer virksomheden. Grundlønnen er på \(16.320\) kr. pr måned. Derudover får Martin \(121,25\) kr. pr. nye kunde han skaffer (provision).

a) Hvordan kan Martins løn opstilles som en lineær funktion?

Martins løn er bestemt ved følgende formel:

\(l(x) = 121,25x + 16.320\)

\(x\) er antallet af nye kunder Martin skaffer

\(l(x)\) er Martins månedsløn

Martins løn og antallet af nye kunder er en lineær sammenhæng. Antallet af nye kunder er den uafhængige variabel, og Martins løn er den afhængige variabel. 

Martins løn har varieret meget fra måned til måned. Nogle måneder en hans løn høj, andre måneder er den knap så høj. Her ses et udsnit af Martins løn i en halv-årig periode.

Måned:

Januar

Februar

Marts

April

Maj

Juni

x

218

231

189

167

201

144

l(x)

42.752,50

44.328,75

39.236,25

36.568,75

40.691,25

33.780

Dette diagram over antallet af nye kunder og Martins løn svarer til at finde koordinatsæt ved hjælp af et sildeben.

Når man indtegner Martins løn som punkter i de angivne måneder i et koordinatsystem, ser grafen for den lineære funktion således ud:

Figur 6.

Lineær funktion, Martins løn 1

Martin må selv bestemme hvor mange timer han arbejder, bare han skaffer minimum \(50\) kunder pr. måned.

Martin har arbejdet meget mere i nogle måneder end andre. Herunder ses det antal timer han har arbejdet i hver af de \(6\) måneder:

Måned:

Januar

Februar

Marts

April

Maj

Juni

x

218

231

189

167

201

144

l(x)

42.752,50

44.328,75

39.236,25

36.568,75

40.691,25

33.780

timer

208

195

189

163

182

154

Martin tvivler ikke på sine egen evner, så han ved at han altid kan skaffe minimum \(50\) kunder pr. måned. Han ved dog med sikkerhed, at hvis han arbejder \(0\) timer får han \(0\) kr. i løn. Så punktet \((0,0)\) indsættes for at undersøge sammenhængen mellem antal timer og løn.

b) Er der tale om tilnærmelsesvis lineære funktioner, når man ser på henholdsvis Martins timer pr. måned og hans månedsløn, samt hans timer pr. måned og hans månedsløn gennem origo \((0,0)\)?

For at undersøge tilnærmelsesvis lineære funktioner skal punkterne først indtegnes i et koordinatsystem.

Figur 7.

Tilnærmelsesvis lineær funktion, Martins løn 2

Som det fremgår, ligger punkterne ikke på en ret linje, så der er ikke tale om en lineær funktion. Men det kunne godt tyde på, at det er en tilnærmelsesvis lineær funktion. Det undersøges bedst ved at tegne den bedste rette linje både for den \(6\)-måneder lange periode samt for den \(6\)-måneder lange periode inklusiv punktet origo \((0,0)\).

Figur 8.

Lineære funktioner, Martins løn 3

Både Martins løn som funktion af hans arbejdsindsats og løn som funktion af arbejdsindsats inklusiv origo \((0,0)\) vurderes at være tilnærmelsesvis lineære funktioner. Dog er de langt fra ligeså entydigt tilnærmelsesvis lineære funktioner, som i forklaringen af begrebet, hvor punkterne lå meget tættere på en ret linje.

Tegneprogrammer kan altid tegne den bedste rette linje. Det er en vurdering fra gang til gang om punkterne ligger 'tæt nok' på en ret linje til at være udtryk for en tilnærmelsesvis lineær funktion. 

Den grønne tilnærmelsesvise lineære funktion har forskriften:

\(g(x) = 177,26x + 7327,61\)

\(x\) er antallet af arbejdstimer pr. måned

\(g(x)\) er Martins månedsløn

Den røde tilnærmelsesvise lineære funktion med origo som punkt har forskriften:

\(r(x) = 214,86x + 421,53\)

\(x\) er antallet af arbejdstimer pr. måned

\(r(x)\) er Martins månedsløn

Den tilnærmelsesvise lineære funktion \(g(x)\) gør os ikke klogere på Martins 'rene' timeløn, hvis man gerne vil undersøge timelønnen uden nogen form for bonus, da \(b = 7.327,61\) kr. for \(g(x)\). Men den er mest retvisende for datamaterialet for de \(6\) måneder.

Som det fremgår, kan indsættelsen af origo som punkt ændre funktionsforskriften betydeligt, og hjælpe med at finde et udtryk for Martins timeløn. 

I denne \(6\)-måneders periode kan det ud fra den tilnærmelsesvise lineære funktion \(r(x)\) anslås, at Martins gennemsnitlige løn er ca. \(215\) kr. i timen, plus en lille (start)bonus på \(421,50\) kr. pr. måned.

Vær meget opmærksom på ikke at manipulere med resultaterne, når der arbejdes med tilnærmelsesvis lineære funktioner.