Hældningskoefficient

En hældningskoefficient beskriver udseendet på en ret linje, hvor stejl eller flad linjen er. Hældningskoefficient er udtrykt ved konstanten a i linjens ligning og a i en lineær funktion.

Jo større a er desto stejlere er linjen. Hældningskoefficient a kaldes undertiden også for stigningstal, hældningstal eller blot hældning for en graf. Begrebet stigningstal kan dog virke lidt misvisende, da en lineær funktion både kan være stigende/voksende og aftagende. Hældningskoefficient a er tæt knyttet sammen med lineær vækst.

Definitionen på hældningskoefficient er det tal/den koefficient, som en ret linje stiger eller aftager med, når man går én til højre på x-aksen. Hvis x ændrer sig én i positiv retning, hvad er så den tilhørende ændring på y-aksen.

Eksempel på hældningskoefficient

Linjen \(l\) har forskriften \(y = ½x + 1\).

Hældningskoefficient, lineær funktion

Ud fra definitionen betyder det, at når man bevæger sig \(1\) til højre på x-aksen, så skal man \(½\) op på y-aksen for igen at ramme linjen. Det er markeret på figuren, idet en bevægelse på x-aksen fra \(2\) til \(3\) ændrer y-koordinatet fra \(2\) til \(2½\). Linjens hældningskoefficient \(a = ½\).

Betydningen af a

Der gælder følgende om en hældningskoefficient \(a\), og dermed udseendet af lineære funktioner:

\(a > 0\): Funktionen er voksende, dvs. at når man går fra venstre mod højre bevæger grafen sig op ad.

\(a = 0\): Funktionen er konstant, dvs. at grafen er en vandret linje.

\(a < 0\): Funktionen er aftagende, dvs. at når man går fra venstre mod højre bevæger grafen sig ned ad.

Hældningskoefficient, betydning af a

Linjen \(l\) er voksende, det ses af at a er positiv \((+½)\).

Linjen \(g\) er konstant idet a \(= 0\).

Linjen \(h\) er aftagende da a er negativ \((-1)\).

Hældningskoefficient formel

Hældningskoefficienten \(a\) er udtrykt ved følgende formel:

\[a = \frac{\Delta y}{\Delta x} \Leftrightarrow a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]

Trekanten (\(\Delta\)) er det græske tegn delta, der betyder ændring (forskel på to værdier). Man siger at 'a er lig med delta y over delta x’.

\(a\) er lig med ændringen i \(y (y_2 - y_1)\), divideret med ændringen i \(x (x_2 - x_1)\).

For at beregne hældningskoefficient a skal man derfor kende to punkters koordinatsæt \((x_1,y_1)  og  (x_2,y_2)\).

Eksempel

Lad os se på linje \(h\) på figuren herunder, hvor punkterne J\((-3,9)\) og K\((1,5)\) er indsat:

Hældningskoefficient eksempel

\(a = \frac{\Delta y}{\Delta x} \Rightarrow a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \Rightarrow a = \frac{5 - 9}{1 -(-3)} \Rightarrow a = \frac{-4}{4} \Rightarrow a = -1\)

Hældningskoefficienten \(a = -1\) indgår som fortegn for x, som det fremgår af linjens ligning for linjen \(h: y = -1x + 6\).

For nemheds skyld vil man oftest vælge \(\Delta x\) til \(1\), da hældningskoefficienten derved fremgår direkte som \(\Delta y\).

Har \(\Delta x\) en anden værdi som i eksemplet med punkterne J og K, skal den tilhørende ændring i \(y (\Delta y)\) blot indsættes i formlen, for at beregne hældningskoefficienten.

Se endvidere artiklen om lineær sammenhæng for dennes sammenhæng med hældningskoefficient a.

Som opsummering kan det fastslås, at hældningskoefficient a for en lineær funktion beskriver udseendet af den rette linje. Hvis a er positiv, er den rette linje stigende fra venstre mod højre. Hvis a er negativ er den rette linje faldende fra venstre mod højre. Hvis a = \(0\) er det en vandret linje. 

Hældningskoefficienten beskriver, hvor langt man skal bevæge sig på y-aksen, op eller ned, hvis man bevæger sig \(1\) til højre på x-aksen.