"
>

Lineær vækst

Lineær vækst er et matematisk udtryk der knytter sig til lineære funktioner. Lineær vækst vil blot sige, at to vilkårlige punkter befinder sig på en ret linje med en hældning  (\(a ≠ 0\)). Lineær vækst knytter sig særligt tæt sammen med hældningskoefficienten. Derfor er konstanten a i linjens ligning samt i en lineær funktion af afgørende betydning, når man taler om lineær vækst. 

Lineær vækst er en såkaldt konstant – konstant vækst. Det vil sige, at når x-værdien vokser med en konstant værdi (\(\Delta x\)), da vil y-værdien også vokse med en tilhørende konstant værdi (\(\Delta y\)).

Lineær vækst betegnes undertiden som en lineær vækstmodel.

Lad os se på de to vilkårlige punkter P \((x_1 , y_1)\) og Q \((x_2 , y_2)\) på en ret linje for at eksemplificere påstanden yderligere.

En bevægelse fra P til Q er en lineær vækst, idet x-værdien fra P til Q stiger med konstanten \(\Delta x (x_2 – x_1)\) samtidig med at y-værdien i bevægelsen fra P til Q stiger med konstanten \(\Delta y (y_2 – y_1)\). Det er uafhængigt af hvor punkterne P og Q er placeret på den rette linje.

Lineær vækst, betydningen af a

Det minder meget om en hældningskoefficienten, hvor det gælder at når \(x\) vokser med konstanten \(1\), så vokser/aftager \(y\) med konstanten \(a\) (markeret med rødt på figuren).

Det viser sig, at der er en sammenhæng mellem \(a\), \(\Delta x\) og\(\Delta y\). Ved en ændring på \(\Delta x\), ændres \(\Delta y\) nemlig med \(a \cdot \Delta x\). På en formel ser det således ud:

\[\Delta y = a \cdot \Delta x\]

Lineær vækst er defineret som; 'ændringen i y lig med hældningen gange ændringen i x'. Denne formel genkendes fra artiklen om hældningskoefficient hvor \(a = \frac{\Delta y}{\Delta x}\).

Man kunne godt tro, at lineær vækst altid er positiv, da vækst i daglig tale henviser til noget, der stiger. Men i matematisk forstand er vækst ikke entydig positiv. Lineær vækst kan derfor både være positiv og negativ, afhængig af fortegnet for \(a\). Hvis \(a = -2\) er der eksempelvis tale om en negativ lineær vækst.

På figuren ovenfor er de to variabler x og y benyttet. Da lineær vækst også er tæt knyttet til lineære funktioner, kan notationerne for lineær vækst også se således ud. Det betyder præcis det samme:

Lineær vækst, funktionsværdi

Måden man læser denne figur på er ved at vælge et \(x_0\) på grafen. Til dette \(x_0\) er der en tilhørende funktionsværdi \(f(x_0)\) på grafen, der aflæses på \(2\). aksen. Når man så lægger en værdi \(\Delta x\) til \(x_0\), får man punktet \(x_0 + \Delta x\) markeret på x-aksen. Til dette punkt er den tilhørende funktionsværdi \(f(x_0 + \Delta x\)) på grafen og aflæses på \(2\). aksen. Denne funktionsværdi \(f(x_0 + \Delta x\)) kan også beskrives som \(f(x_0) + a \cdot \Delta x\).

Eksempel

En lineær sammenhæng er givet ved forskriften:

\(f(x) = -0,75x + 3\).

På figuren er valgt to punkter P\((-6; 7,5)\) og Q\((-2;4,5)\) på grafen, der markerer en negativ lineær vækst, da \(a = -0,75\).

Lineær vækst, sammenhæng med hældning

En bevægelse fra P til Q er markeret på x-aksen som  \(\Delta x = 4\).

Den tilhørende bevægelse fra P til Q er markeret på y-aksen som  \(\Delta y\).

Som det fremgår, er sammenhængen med hældningen \(a\) tydeliggjort (a er defineret som bevægelsen på y-aksen, når man bevæger sig én til højre på x-aksen).

Når man i dette eksempel bevæger sig \(4\) til højre på x-aksen, bliver den tilhørende bevægelse på y-aksen derfor \(4 \cdot a\).

\(\Delta y = 4 \cdot (-0,75) \Rightarrow \Delta y = -3\)

(som det også fremgår af figuren, ud fra punkternes y-koordinater: \(7,5\) og \(4,5\))

Den generelle formel udtrykkes derfor, som angivet øverst i artiklen, som:  \(\Delta y = a \cdot \Delta x\)