Potensfunktion

En potensfunktion er meget almindelig inden for matematikken. Du kan læse mere om hvad en potens er i artiklen Potensregneregler.

Man kunne starte med at stille spørgsmålet, hvad er en potensfunktion udtryk for?

Hvad er en potensfunktion?

Potensfunktioner kan eksempelvis udtrykke et objekts konstante acceleration, en effektmåling af en vindmølles evne til at omsætte vindens energi til el, et penduls svingningstid eller tiden en dykker må være under vandet.

I en potensfunktion indgår en potens \((x^a)\). Definitionen på en potensfunktion ser således ud:

\[F(x) = x^a\]

\(x\) er den variable og grundtal i potensen

\(a\) er eksponent i potensen, \(a \in R\)

For potensfunktionen defineres en definitionsmængde, der beskriver de lovlige værdier af \(x\), og en værdimængde. I denne artikel fokuseres på potensfunktioner, hvor \(x > 0\) som grafisk altid tegnes i 1. kvadrant. Definitonsmængde og værdimængde kan angives på følgende måde: 

\(Dm(f) = R_+\)

\(Vm(f) = R_+\)

Det er vigtigt at kunne genkende en potensfunktion, og skelne den fra andre funktioner. Men det kan være vanskeligt, da potensfuntioner kan have mange forskellige udseender og minde om andre funktionstyper.

Den grafiske afbildning af en potensfunktion varierer, og det kommer an på formålet, hvordan man definerer x, og dermed definitionsmængden (prøv selv at tegne \(g(x) = x^3\) og \(h(x) = x^4\), for at se hvordan de ser ud grafisk i et koordinatsystem).

Eksempelvis er en lineær funktion principielt en potensfunktion, da \(x\) er opløftet i \(1\)'ste potens. 

Herunder ses en afbildning af de mest elementære potensfunktioner. 

Den lyseblå graf (\(a = -1\)) er en potensfunktion: \(f_1(x) = x^{-1}\) eller \(f_1(x) = \frac{1}{x}\)

Den røde graf (\(a = 2\)) er en potensfunktion: \(f_2(x) = x^2\)

Den grønne graf (\(a = 1\)) er en lineær funktion: \(f_3(x) = x\)

Den blå graf (\(a = ½\)) er en potensfunktion: \(f_4(x) = x^{\frac{1}{2}}\) eller \(f_4(x) = \sqrt{x}\)

Potensfunktioner

Formlen for en potensfunktion er ret simpel i sin definition. Det bemærkelsesværdige ved en potensfunktion er, at det grafiske billede kan variere meget i udseende. Ikke kun i 1. kvadrant som her, men i sin helhed.  

Betydningen af a

Størrelsen på konstanten \(a\) har afgørende betydning for, hvordan grafen for en potensfunktion ser ud i 1. kvadrant.

\(a < 0\): Aftagende potensfunktion

\(0 < a < 1\): Voksende potensfunktion med aftagende hældning

\(a > 1\): Voksende potensfunktion med stigende hældning

\(a = 1\): Når \(a\) er lig med \(1\) er potensfunktionen \(f(x) = b \cdot x\), og dermed udtryk for en lineær funktion.

\(a = 2\): Når \(a\) er lig med \(2\) er funktionen udtryk for et simpelt andengradspolynomium, der grafisk afbildes som en parabel.

I resten af artiklen er \(a = 2\) udeladt. Læs mere om et andengradspolynomium og en parabel og den grafiske afbildning af disse i Studieportalens Matematik Formelsamling.

En potensfunktion er yderligere karakteriseret ved at gå gennem punktet \((1,1)\).

Det skyldes, at uanset hvad \(1\) opløftes i giver det altid \(1 (1^{0,002}= 1\) og \(1^{487}= 1)\).

Derfor er \(f(1) = 1\), som det også tydeligt fremgår af figuren ovenfor.

Potensudvikling

I en potensudvikling indgår foruden en potens \((x^a)\) også en koefficient \((b)\) som ganges med potensen. Definitionen på en potensudvikling ser således ud:

\[F(x) = b \cdot x^a\]

Hvis \(b = 1\) er en potensudvikling en simpel potensfunktion med funktionsforskriften \(f(x) = x^a\).

En potensudvikling adskiller sig altså kun fra en potensfunktion ved at der ganges en konstant b på. Funktionen og grafen udvikler sig som følge af en potens.

De to begreber potensfunktion og potensudvikling benyttes ofte som synonymer, da den praktiske forskel (forekomsten af en konstant b) er lille. Men i definitionen er der altså forskel på de to potensielle funktionstyper. Begrebet potensfunktion benyttes således som en fællesbetegnelse. 

Betydningen af \(a\) er den samme for både en potensfunktion og en potensudviking. Men i en potensudvikling forekommer der en konstant b, som har følgende betydning for den grafiske afbildning.

Betydningen af b i en potensudvikling

En potensudvikling er karakteriseret ved at gå gennem punktet \((1,b)\). Som forklaret ovenfor er \(1\) opløftet i en eksponent altid lig med \(1\). 

Derfor er \(f(1) = b \cdot 1 = b\).

Nedefor ses forskellige typer af potensielle udviklinger:

Potensudvikling (potensfunktion)

Formlerne for graferne ovenfor er:

Blå graf: \(b(x) = 12 \cdot x^{-1,23}\)

Grøn graf: \(g(x) = 0,5 \cdot x^{1,89}\)

Orange graf: \(o(x) = 3 \cdot x^{0,47}\)

Rød graf: \(r(x) = 2 \cdot x^1\)

På den blå graf for potensfunktionen \(b(x)\) er \((1,12)\) derfor et punkt. På grafen for \(g(x)\) er \((1; 0,5)\) et punkt, på \(o(x)\) er \((1,3)\) et punkt, og endelig på \(r(x)\) er \((1,2)\) et punkt.

Som det fremgår af den blå graf hvor \(a < 0\), ligger den tæt op ad \(2\)-aksen ned mod origo \((0,0)\), hvor den flader ud og derefter ligger tæt op ad \(1\)-aksen. En potensudvikling med \(a < 0\) krydser aldrig nogen af akserne og går som den eneste derfor heller ikke igennem origo \((0,0)\).

Den grønne graf hvor \(a > 1\), er voksende og bliver mere og mere stejl. Den orange graf hvor \(0 < a < 1\), er voksende, men hældningen for denne potensfunktion bliver mere og mere flad. Den røde graf hvor \(a = 1\) er blot en ret linje. Som det ses går alle de potensudviklinger hvor \(a > 0\) gennem origo \((0,0)\).

Topunktsformel a og b

Når man ikke kender forskriften for en potensudvikling kan den oftest udregnes. Det kræver dog at man har to punkter på den grafiske afbildning for potensudviklingen. De to punkter som grafen går igennem har koordinaterne \((x_1, y_1)\) og \((x_2, y_2)\), og \(a\) for funktionsforskriften kan derefter beregnes ved hjælp af formlen:

\[a = \frac{\log(y_2)  -  \log(y_1)}{\log(x_2)  -  \log(x_1)}\]

Man kan derefter beregne \(b\) ved hjælp af \(a\) og et punkt med følgende formel (man kan selv bestemme om man bruger \((x_1, y_1)\) eller \((x_2, y_2)\):

\[b = \frac{y_1}{x_1^a}\]

Efter en teoretisk gennemgang er det på tide at se på nogle taleksempler for at opnå en større forståelse for potensfunktioner og potensudviklinger. Først et par eksempler (1 og 2), hvor funktionsforskriften kendes, hvor man skal udregne punkter. Dernæst en udregning i eksempel 3 af en forskrift for en potensudvikling på baggrund af to punkter.

Eksempel 1

Vi tager udgangspunkt i en potensfunktion \(f_1(x)\) defineret som:

\(f_1(x) = x^{-1}\)

Find funktionsværdi for \(x = 0,50\) og \(x = 5\)?

\(f_1(0,50) = 0,50^{-1} \Leftrightarrow f_1(0,50) = 2\)

\(f_1(5) = 5^{-1} \Leftrightarrow f_1(5) = 0,2\)

Man kender en funktionsværdi hvor \(f_1(x) = 0,33333333\)

Find \(x\)?

Vi benytter en omskrivning af formlen således at: \(f_1(x) = \frac{1}{x}\)

\(\frac{1}{x} = 0,3333333 \Leftrightarrow x = \frac{1}{0,33333} \Leftrightarrow x = 3\)

Når man ser på grafen for \(f_1(x)\) øverst fremgår det med rimelig tydlighed, at \((0,5;2)\), \((5;0,2)\) og \((3;0,33)\) er punkter på grafen.

Eksempel 2

En potensudvikling har formlen:

\(c(x) = 16,2 \cdot x^{-1,94}\)

Man kender punktet \((1;16,2)\) på potensudviklingen \(c(x)\) ud fra formlen. Man kan ikke se punktet på denne afbildning af grafen.

Find funktonsværdierne for \(x = 4\) og \(x = 10\)?

\(c(4) = 16,2 \cdot 4^{-1,94} \Leftrightarrow c(4) = 1,10031904831\)

\(c(10) = 16,2 \cdot 10^{-1,94} \Leftrightarrow c(10) = 0,18600088668 ≈ 0,19\)

På figuren er punkterne på grafen afrundet til to decimaler.

Topunktsformel for potensfunktion

Som det fremgår af grafen kender vi yderligere en funktionsværdi, som med alle decimaler har værdien:

\(c(x) = 7,3773089597 ≈ 7,38\)

Find \(x\)?

\(16,2 \cdot x^{-1,94} = 7,3773089597 \Leftrightarrow x^{-1,94} = 0,45538944195 \Leftrightarrow x = 1,5\)

Eksempel 3

Man har fået oplyst følgende talsæt og ved, at det er udtryk for en potensfunktion/potensudvikling. Man skal nu finde en funktionsforskrift udtrykt som \(f(x) = b \cdot x^a\), ved at vælge to vilkårlige punkter (de kan med fordel være i hver sin ende af talsættet).

x 0 2 4 6 8 10 12 14 16
f(x) 0 6,86 72,43 287,49 764,57 1632,73 3034,80 5125,65 8070,89

Find \(a\) og \(b\) i en potensudvikling?

Punkterne \((x_1,y_1) = (4; 72,43)\) og \((x_2,y_2) = (16;8070,89)\) vælges for at bestemme a og b.

For at finde a indsættes punkterne i topunktsformlen:

\(a = \frac{log(8070,89)  –  log(72,43)}{log(16)  –  log(4)} \Leftrightarrow a = \frac{2,04700294305}{0,60205999132} \Leftrightarrow a = 3,39999829346 ≈ 3,40\)

Man kan derefter beregne \(b\) ved hjælp af \(a\) og et punkt, eksempelvis \((x_1,y_1)\): \((4; 72,43)\):

\(b = \frac{72,43}{4^{3,39999829346}} \Leftrightarrow b = 0,65000327097 ≈ 0,65\)

Formlen for denne potensudvikling er derfor: \(f(x) = 0,65 \cdot x^{3,40}\)

Sådan kan du, for en potensfunktion, finde a og b og dermed opskrive funktionsforskriften.

Hvis man har en mængde punkter, og vil undersøge om de er udtryk for en potensfunktion, indtegnes punkterne på dobbeltlogaritmisk papir. Jo nærmere punkterne ligger på en ret linje, desto mere sikker kan man være på, at punkterne er udtryk for en potensfunktion.

I forbindelse med en potensfunktion taler man også om potensvækst.

Indhold