"
>

Potensvækst

Potensvækst er et udtryk der knytter sig til en potensfunktion. En potensfunktion/potensudvikling er som bekendt defineret som:

\(F(x) = b \cdot x^a\)

De generelle betingelser for potensfunktioner er derfor også gældende for potensvækst. Men det gælder samtidig for potensvækst at:

\(a > 0\)

Potensvækst har følgende karakteristika. Når \(x_0\) ganges med en konstant \(k\), kan man gange \(f(x_0)\) med potensen \(k^a\). På en formel ser det således ud:

Formel for potensvækst

\[f(x_0 \cdot k) = k^a \cdot f(x_0)\]

Det kan alternativt udtrykkes som:

\(f(x_2) = k^a \cdot f(x_1)\)

hvor \(x_2 > x_1\)

hvor \(x_2 = x_1 \cdot  k\)

Lad os starte med et simpelt eksempel for at illustrere formlens gyldighed. En potensudvikling har funktionsforskriften:

\(f(x) = 5x^3\)

\((a = 3\) og \(b = 5))\)

Funktionsværdien for \((x_0 = 2)\):

\(f(2) = 5(2)^3 = 40\)

Gang \(x_0\) med konstanten \(k = 4\).

Funktionsværdien for \(f(x_0 \cdot k)\):

\(f(8) = 5(8)^3 = 2560\)

Funktionsværdien for \(f(8)\) kan også udregnes ved at gange konstanten \(k\) opløftet i eksponenten \(a\) med funktionsværdien for \(f(x_0)\):

  \(f(x_0 \cdot k) = k^a \cdot f(x_0)\)
\(\Updownarrow\)
  \(f(2 \cdot 4) = 4^3 \cdot 40\)
\(\Updownarrow\)
  \(f(8) = 64 \cdot 40\)
\(\Updownarrow\)
  \(f(8) = 2560\)

Istedet for at finde funktionsværdi for \(f(x_0 \cdot k)\), kan man gange funktionsværdien for \(f(x_0)\) med \(k^a\). Det kan i nogen tilfælde være lettere.

Procent-procent-vækst

Potensvækst beskrives også som procent-procent-vækst. Det skyldes, at potensvækst har den egenskab, at når \(x\) vokser med en procentsats, så stiger \(f(x)\) samtidig med en anden procentsats.

For at kunne udregne procent-procent-vækst, skal man kende formlen for potensudviklingen, eller som minimum have udregnet \(a\).

Lad os se nærmere på potensudviklingen: \(s(x) = 3x^{0,75}\)

\((a = 0,75\))

Potensvækst

De grønne og de orange markeringer på grafen viser sammenhængen mellem potensvækst og procent-procent-vækst.

Først vælges to x-værdier \(x_3 = 20\) og \(x_4 = 40\).

Der er sket en fordobling fra \(20\) til \(40\) på x-værdien.

\(x_3 \cdot k = x_4 \Leftrightarrow 20 \cdot k = 40 \Leftrightarrow k = \frac{40}{20} \Leftrightarrow k = 2\)

En fordobling fra \(20\) til \(40\) svarer til en procentvis stigning på:

\(\frac{40 – 20}{20} \cdot 100 \% = 100 \%\)

Det vil sige, at når \(x_3\) stiger med \(100 \%\) medfører det en procentvis stigning på \(s(x)\):

\(2^{0,75} = 1,6818\).

Potensvækst skal fratrækkes \(1\) og ganges med \(100 \%\):

\(1,6818  – 1 \cdot 100 \% = 68,18 \%\)

Potensvækst betyder altså, at når \(x\) stiger med \(100 \%\), stiger \(s(x)\) med \(68,18 \%\):

Dette kan også illustreres på denne måde, som kan virke mere logisk for nogen.

Her tages udgangspunkt i funktionsværdierne for \(x_3\) og \(x_4\), som tilsvarer en fordobling på x-værdien: 

\(s(20) = 3(20)^{0,75} = 28,37\)

\(s(40) = 3(40)^{0,75} = 47,72\)

Den procentvise stigning på funktionsværdierne er:

\(\frac{47,72 – 28,37}{28,37} \cdot 100 \% = 68,18 \%\)

For alle \(x\) gælder det, at når \(x\) stiger med \(100 \%\), så stiger \(s(x)\) med \(68,18 \%\).

Prøv selv at udregne potensvækst/procent-procent-vækst for de blå markeringer på figuren, hvor \(x_1 = 5\) og \(x_2 = 15\).

Fremskrivningsfaktor for potensudvikling

En fremskrivnigsfaktor kendes først og fremmest fra kapitalfremskrivning som en del af Rentesregning. Fremskrivningsfaktoren \(F = (1 + r)\) beskriver en procentvis ændring. Fremskrivningsfaktor kan benyttes til at beskrive procent-procent-vækst for en potensfuktion, idet \(r\) er den procentvise stigning (angivet som decimaltal). 

Der gælder følgende sammenhæng:

\[F_{f(x)} = F_x^a\]

Som svarer til:

\((1 + r_{f(x)}) = (1 + r_x)^a\)

Lad os benytte tallene med de blå markeringer fra figuren ovenfor, hvor vi ikke kender \(r_{f(x)}\):

\(a = 0,75\)

\(r_x = 200 \% = 2,00\)

  \((1 + r_{f(x)}) = (1 + r_x)^a\)
\(\Updownarrow\)
  \((1 + r_{f(x)}) = (1 + 2)^{0,75}\)
\(\Updownarrow\)
  \((1 + r_{f(x)}) = 3^{0,75}\)
\(\Updownarrow\)
  \((1 + r_{f(x)}) = 2,2795\)
\(\Updownarrow\)
  \(r_{f(x)} = 1,2795\)

Decimaltallet \(1,2795\) ganges med \(100 \%\):

\(1,2795 \cdot 100 \% = 127,95 \%\)

Som kontrol kan man indsætte \(k = 3\), idet der sker en tredobling fra \(x_1 = 5\) til \(x_2 = 15\).

\(3^{0,75} = 2,2795\).

Potensvækst skal fratrækkes \(1\) og ganges med \(100 \%\):

\(2,27,95  – 1 \cdot 100 \% = 127,95 \%\)

Som det ses stemmer de to resultater overens. De blå markeringer på grafen illustrerer, at en stigning i \(x\) på \(200 \%\) modsvares af en stigning på \(s(x)\) på \(127,95 \%\) for alle \(x\).

Eksempel 1

Potensudviklingen er givet ved forskriften: \(s(x) = 3x^{0,75}\)

Man ønsker at fremskrive x-værdien med \(50 \%\). 

(\(r_x = 0,50\) og \(F_x =(1,50)\))

\(F_{f(x)} = (1,50)^{0,75}  = 1,3554\)

\(F_{f(x)} = (1 + r_{f(x)}) \Leftrightarrow 1,3554 = (1 + r_{f(x)}) \Leftrightarrow r_{f(x)} = 0,3554\)

Decimaltallet \(0,3554\) ganges med \(100 \%\):

\(0,3554 \cdot 100 \% = 35,54 \%\)

Når \(x\) stiger med \(50 \%\) stiger \(s(x)\) med \(35,54 \%\).