"
>

Potensregneregler

Potensregneregler gælder regning med potenser. Potensregnereglerne er indenfor matematikken regneregler på linje med addition, subtraktion, multiplikation og division.

En potens er et tal der ganges med sig selv et antal gange.

Eksempelvis kan regnestykket \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) i stedet opstilles som en potens. \(2\) multipliceret med sig selv \(4\) gange svarer til potensen \(2^4\).

\(2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16\)

Potens er blot en kortere måde at formulere denne specifikke multiplikation på. At regne med potens kaldes også en potensopløftning. Eksempelvis siges \(2\) at være opløftet i \(4\)'de potens. 

En potens opstilles på følgende måde:

\[x^n\]

\(x\) kaldes grundtallet, roden eller basen

\(n\) kaldes eksponenten eller potenseksponenten

Det skrives også:

\[x^n = x \cdot x \cdot x \cdot … \cdot x\]

(\(x\) gentaget i alt \(n\) gange)

Yderligere et par eksempler på en potens er:

\(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\)

\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)

Det vil henholdsvis sige, at \(3\) er grundtallet og \(2\) er eksponenten (tre i anden (potens)). Samt at \(5\) er grundtallet og \(3\) er eksponenten (fem i tredje (potens)). Man siger i forbindelse med potensregneregler '\(x\) i \(n\)’te (potens)'.

Der en lang række potensregneregler, som det er vigtigt at kende. Dermed kan man spare mellemregninger og derfor komme lettere frem til resultatet. Først opstilles potensregneregler generelt. Efterfølgende forklares potensregnereglerne eksplicit ved brug af taleksempler. Potensreglerne ser således ud:

Potensregler

  1. \(a^n \cdot a^i = a^{(n+i)}\)
     
  2. \(\frac{a^n}{a^i} = a^{(n-i)}\)
     
  3. \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)
     
  4. \(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\) (det gælder at \(b ≠ 0\), da man ikke må dividere med \(0\))
     
  5. \((a^n)^i = a^{n \cdot i}\)
     
  6. \(a^{(-n)} = \frac{1}{a^n}\) (det gælder at \(a ≠ 0\), da man ikke må dividere med \(0\))
     
  7. \(a^0 = 1\) (hvor \(a ≠ 0\))
     
  8. \(a^{\frac{n}{i}} = \sqrt[i]{a^n}\)

Potensregneregler er ovenfor simpelt skitseret med bogstaver. For uddybende kommentarer og taleksempler, se den tilhørende forklaring til potensregneregler herunder.

Bemærk: For alle potensregneregler gælder det, at man kan gå begge veje i kraft af lighedstegnet. De er alle forklaret fra venstre mod højre, men det modsatte er altså også gældende.

Eksempel 1

Når man skal gange to potensstørrelser med samme grundtal \((a)\) opløftet i forskellige eksponenter \((n\) og \(i)\), lægges eksponenterne sammen.

\(a^n \cdot a^i = a^{(n+i)}\)

\(7^2 \cdot 7^3 = 7^{2 + 3} = 7^5 = 16.807\)

Eksempel 2 

Når man skal dividere to potensstørrelser med samme grundtal \((a)\) opløftet i forskellige eksponenter \((n\) og \(i)\), trækkes eksponenten i nævneren fra eksponenten i tælleren.

\(\frac{a^n}{a^i} = a^{(n-i)}\)

\(\frac{6^7}{6^4} = 6^{7 - 4} = 6^3 = 216\)

Eksempel 3 

Når man skal gange to forskellige grundtal \((a\) og \(b)\) opløftet i samme eksponent \((n)\), kan eksponenten, ved hjælp af potensregnereglerne, sættes udenfor parentes, og de to grundtal ganges sammen først.

\(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)

\(5^3 \cdot 8^3 = (5 \cdot 8)^3 = 40^3 = 64.000\)

Eksempel 4 

Når man skal dividere to størrelser med to forskellige grundtal \((a\) og \(b)\) opløftet i den samme eksponent \((n)\), kan eksponenten sættes udenfor parentes og de to grundtal divideres først. Om der efterfølgende er tale om et helt tal eller en brøk er ikke afgørende.

\(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\)

\(\frac{12^4}{3^4} = (\frac{12}{3})^4 = 4^4 = 256\)

\(\frac{13^5}{3^5} = (\frac{13}{3})^5 = 1.527,9547325\)           

Eksempel 5 

Når man har en potensopløftning af \((a)\) opløftet i \((n)\), som samtidig er samlet grundtal \((a^n)\) i en anden potensopløftning med en anden eksponent \((i)\), ganges de to eksponenter \((n\) og \(i)\) sammen.

\((a^n)^i = a^{n \cdot i}\)

\((11^2)^3 = 11^{(2  \cdot  3)} = 11^6 = 1.771.561\)

Eksempel 6 

Når man har et grundtal \((a)\), der er potensopløftet i en negativ eksponent \((-n)\), svarer det til at dividere \(1\) med grundtallet i den positive eksponent \((n)\) når man benytter potensregnereglerne.

\(a^{(-n)} = \frac{1}{a^n}\) \((a ≠ 0)\)

\(4^{-5} = \frac{1}{4^5} = \frac{1}{1024} = 0,0009765625\)

Eksempel 7

Når man har en grundtal \((a)\) opløftet i eksponenten \(0\), giver det pr. definition \(1\).

\(a^0 = 1\)

\(14^0 = 1\)

Eksempel 8

Når et grundtal \((a)\) er opløftet i en brøk \(\frac{n}{i}\), svarer det til at tage nævnerens \((i\)´s) rod af grundtallet opløftet i tælleren \((n)\).

\(a^{\frac{n}{i}} = \sqrt[i]{a^n}\)

Deraf fremgår det, at:

\(a^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt{a}\)  

\(a\) opløftet i en \(½\) svarer til kvadratroden af \(a\).

\(289^{\frac{1}{2}} = \sqrt{289} = 17\)

Når eksponenten ikke er en \(½\), udtrykkes det på følgende måde:

\(a^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{a^5}\)

\(2^{\frac{7}{4}} = \sqrt[4]{2^7} = \sqrt[4]{128} = 3,3635856610\)

(I alle eksempler med potensregneregler er resultatet gengivet med \(11\) betydende cifre.)