"
>

Indekstal

Indekstal er en del af procentregning. Begrebet indekstal eller indextal kommer af, at man indekserer en talrække. Ved hjælp af procentberegninger kan man vise den procentuelle udvikling i en talrække. Indekstal benyttes oftest til at overskueliggøre en udvikling i talrækker over tid.

Ved indekseringen vælger man først et basistal som sættes lig med \(100 \%\). Alle de andre tal i rækken udtrykkes som en procentdel af basistallet. Se endvidere eksempel 3 og 4 i artiklen Hvordan regner man procent.

Tallet der vælges som basistal, bliver afsæt for den sammenligning, som indekseringen medfører. Denne form for indekstal kaldes et simpelt indeks, og vil være omdrejningspunktet i denne artikel.

Danmarks Statistik beregner en stor mængde indekstal, eksempelvis forbrugerprisindekset. Men også private virksomheder benytter indekstal, når man eksempelvis skal belyse udviklingen i omsætningen.

Som basistal skal man oftest vælge et tal, der er ’normalt’ for den talrække man indekserer. Vælger man et basistal, der ligger langt fra middeltallet, bliver indekseringen ikke et ligeså godt billede på den udvikling, som man ønsker at belyse.

Herunder skitseres en formel og en beregning, for at komme mere i dybden med hvad indekseringen indebærer.

Indekstal formel

Indekstal \; x = \frac{v\ae rdi \; x }{v\ae rdi \; basistal} \cdot 100 \%

Indekstal x er resultatet af indekseringen for et pågældende x

Værdien x er det faktiske tal, der skal indekseres

Værdien for basistallet er det faktiske tal, der er sat til indeks \(100\)

Indekstal-beregning

Lad os se på et tænkt eksempel på udviklingen i omsætningen for en virksomhed, der skal laves om til indekstal:

Årstal 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Omsætning \(6,713\) \(5,319\) \(6,114\) \(6,501\) \(6,459\) \(6,836\)
Indekstal \(100\)

(omsætning er angivet i mio. kr.)

I dette eksempel ønsker virksomheden at belyse udviklingen fra 1998. I 1997 var der eksterne faktorer, der påvirkede udviklingen i virksomhedens omsætning. De ønsker derfor ikke at lave indekseringen ud fra det udgangspunkt. 1998 = indeks \(100\). Beregn indekstal?

Man skal nu indeksere for årene 1999 - 2002:

Indekstal (1999): \(\frac{6,114}{5,319} \cdot 100 \% = 114,95\)

Indekstal (2000): \(\frac{6,501}{5,319} \cdot 100 \% = 122,22\) 

Indekstal (2001): \(\frac{6,459}{5,319} \cdot 100 \% = 121,43\) 

Indekstal (2002): \(\frac{6,836}{5,319} \cdot 100 \% = 128,52\)

Man kan også godt indeksere bagud. Indekseringen for 1997 kan beregnes med 1998 = indeks \(100\).

Indekstal (1997): \(\frac{6,713}{5,319} \cdot 100 \% = 126,21\)

Indekstal-tabellen ser udfyldt således ud:

Årstal 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Omsætning \(6,713\) \(5,319\) \(6,114\) \(6,501\) \(6,459\) \(6,836\)
Indekstal \(126,21\) \(100\) \(114,95\) \(122,22\) \(121,43\) \(128,52\)

(omsætning er angivet i mio. kr.)

Indekseringen viser, at i forhold til 1998 har der været en generel positiv udvikling i virksomhedens omsætning fremadrettet, dog med et lille tilbageslag i 2001.

En detalje som det er vigtig at understrege er, at basisåret er altafgørende for indekseringen, når man skal tolke på tabellen. De andre indekstal er beregnet på baggrund af basisåret, og derfor SKAL alle resultatmæssige tolkninger på indekseringen forholdes til basisåret.

Man kan eksempelvis tolke, at der er sket en procentvis stigning fra 1998 til 2000 på \(22,22 \%\), eller en procentvis stigning fra 1998 til 2002 på \(28,52 \%\). Man kan derimod IKKE sige noget specifikt om, hvad den procentvise ændring er fra 2000 til 2002 ud fra indekseringen.

Ud fra de faktiske tal kan man umiddelbart se, at der er tale om et procentvis stigning, da omsætningen stiger fra \(6,501\) mio. kr. i 2000 til \(6,836\) mio. kr. i 2002. Men man kan IKKE beregne denne stigning som forskellen mellem de to indekstal med 1998 som basisår.

Man kan heller ikke tolke på det procentvise fald fra 1997 til 1998 på baggrund af indekseringen. Det er IKKE et procentvist fald på \(126,21 \% - 100 \% = 26,21 \%\), men derimod et fald på:

\(\left|\frac{5,319 - 6,713}{6,713}\right| \cdot 100 \% = 20,77 \%\)

Se afsnittet 'fald i procent' i artiklen Procentvis stigning.

Havde virksomheden ønsket indekseringen med 1997 som indeks \(100\), ville tabellen se således ud:

Årstal 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Omsætning \(6,713\) \(5,319\) \(6,114\) \(6,501\) \(6,459\) \(6,836\)
Indekstal \(100\) \(79\) \(91\) \(97\) \(96\) \(102\)

(omsætning er angivet i mio. kr.)

Indekseringen benyttes til at påvise en udvikling, hvor man vælger et basistal eller basisår. Derefter kan man foretage en indeksering forstået som den procentuelle udvikling i forhold til basistallet både tilbage og frem i tid. Ofte angives indekstal som her uden decimaler, da de primært skal vise en udvikling og ikke de præcise stigninger og fald.

Indekstal til talrække

Man kan også finde talrækken, når et indekstal og en enkelt værdi er opgivet.

Denne indeksering viser antallet af medlemmer i en forening stiftet i 2006:

Årstal 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Antal medlemmer \(165\)
Indekstal \(100\) \(172,2\) \(197,5\) \(208,9\) \(201,3\) \(181,0\)

I 2009 var der \(165\) medlemmer, 2006 sættes til indeks \(100\). Beregn antallet af medlemmer for de øvrige år?

Man starter med at finde værdien for indeks \(100\) ud fra formlen for indekstal.

  \(Indekstal \; x = \frac{værdi \; x }{værdi \; basistal} \cdot 100 \%\)
\(\Downarrow\)
  \(208,9 \% = \frac{165 }{værdi \; basistal} \cdot 100 \%\)
\(\Updownarrow\)
  \(208,9 \% \cdot værdi \; basistal = 165 \cdot 100 \%\)
\(\Updownarrow\)
  \(værdi \; basistal = \frac{165}{208,9 \%} \cdot 100 \%\)
\(\Updownarrow\)
  \(værdi \; basistal = 78,99 ≈ 79\)

Nu kender man værdien \(79\) medlemmer, som er indeks \(100\). De øvrige år kan beregnes ud fra en ny omskrivning af formlen for indekstal:

  \(Indekstal \; x = \frac{værdi \; x }{værdi \; basistal} \cdot 100 \%\)
\(\Updownarrow\)
  \(Indekstal \; x \cdot værdi \; basistal = værdi \; x \cdot 100 \%\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{Indekstal \; x}{100 \%} \cdot værdi \; basistal = værdi \; x\)

2007: \(\frac{172,2}{100 \%} \cdot 79 = 136,04 ≈ 136\)

2008: \(\frac{197,5}{100 \%} \cdot 79 = 156,03 ≈ 156\)

2010: \(\frac{201,3}{100 \%} \cdot 79 = 159,03 ≈ 159\)

2011: \(\frac{181,0}{100 \%} \cdot 79 = 142,99 ≈ 143\)

Tabellen ser udfyldt således ud:

Årstal 2006 2007 2008 2009 2010 2011
Antal medlemmer \(79\) \(136\) \(156\) \(165\) \(159\) \(143\)
Indekstal \(100\) \(172,2\) \(197,5\) \(208,9\) \(201,3\) \(181,0\)

Beregn indekstal med disse varianter af formlen

Den ukendte står på venstre side af lighedstegnet:

\(\text {Indekstal} \; x = \frac{\text{værdi} \; x }{\text{værdi basistal}} \cdot 100 \%\)

\(\text{værdi basistal} = \frac{\text{værdi} \; x}{\text{Indekstal} \; x} \cdot 100 \%\)

\(\text{værdi} \; x = \frac{\text{Indekstal} \; x}{100 \%} \cdot \text{værdi basistal}\)