"
>

Fremskrivningsfaktor

Fremskrivningsfaktor F er et begreb, der stammer fra rentesregning, men som også benyttes i andre sammenhænge, eksempelvis procentregning. Fremskrivningsfaktor er en fremskrivning fra én mængde til en ny mængde ved hjælp af en procentvis rente.

Fremskrivningsfaktoren betyder, at man tillægger/fratrækker den procentvise ændring i en sekvens. En fremskrivningsfaktor kan både være større end og mindre end én.

Fremskrivningsfaktor er tæt forbundet med vækstrate, da de på sin vis er hinandens modsætninger.

\[F = 1 + r\]

Fremskrivningsfaktor \(F\)

\(r\) er renten (den procentvise ændring), angivet som decimaltal. 

Skal man finde rabatprisen på en vare, nedsat med \(25 \%\), er fremskrivningsfaktoren:

\(F = (1 + (-0,25)) = 0,75\)

Skal man udregne en prisstigning på \(10 \%\), er fremskrivningsfaktoren:

\(F = (1 + 0,10) = 1,10\)

Fremskrivningsfaktor indgår i renteformlen:

\(K_n = K_0(1 + r)^n\)

Der kan omskrives til:

\(K_n = K_0 \cdot F^n\)

Fremskrivningsfaktoren opløftet i n terminer er det startkapitalen vokser med, for at finde kapitalen efter n terminer.

Eller i den simple renteformel hvor terminer n ikke indgår:

\(S = B(1 + r)\)

(hvor B er begyndelsesværdien og S er slutværdien)

Heri indgår fremskrivningsfaktor F:

\(S = B \cdot F \Leftrightarrow F = \frac{S}{B}\)

Kapitalfremskrivning

Kapitalfremskrivning betyder, som navnet antyder, en fremskrivning af kapitalen. Hvad er kapitalen værd efter et antal terminer (eksempelvis år eller måneder), når den faste rente løbende tilskrives kapitalen?

Sagt på en anden måde er kapitalfremskrivning udtryk for, hvad en kontos saldo er vokset eller faldet med, når en fast procentdel tilskrives kapitalen. Ved en kapitalfremskrivning benyttes en faktor til fremskrivning.

Kapitalfremskrivning benyttes både ved lån og ved opsparing. Det er, som den observante læser nok har fornemmet, det samme som at beregne renters rente ved hjælp af renteformlen.

En kapitalfremskrivning er således også udtryk for en eksponentiel funktion, der jo ligeledes er en funktion på formen \(f(x) = b \cdot a^x\). I en kapitalfremskrivning er x byttet ud med n, konstanten b er byttet ud med \(K_0\) og a er byttet ud med (1 + r). 

Kapitalfremskrivning bruges i forbindelse med inflation til at beskrive de procentvise prisstigninger, et samfund oplever på varer og tjenesteydelser.

Kapitalfremskrivningsformlen

Kapitalfremskrivningsformlen er blot et andet ord for renteformlen og ser derfor således ud:

\[K_n = K_0(1 + r)^n\]

\(K_n\) er slutkapitalen efter n terminer

\(K_0\) er startkapitalen

\(r\) er renten som decimaltal

\((1 + r)\) er fremskrivningsfaktoren

\(n\) er antal terminer.

Varianter af kapitalfremskrivningsformlen

Kapitalfremskrivning:               \(K_n = K_0(1 + r)^n\)

Tilbageskrivning af kapital:     \(K_0 = \frac{K_n}{(1 + r)^n}\)

Udregning af rente:                  \(r = \sqrt[n]{ \frac{K_n}{K_0}} - 1\)

Udregning af terminer:           \(n = \frac{\log(K_n) – \log(K_0)}{\log(1 + r)}\)

For nærmere forklaring af omskrivningerne se artiklen Renteberegning. Eksemplerne herunder vil illustrere forskellige typer af en kapitalfremskrivning. I en kapitalfremskrivning er en fremskrivningsfaktor et meget anvendeligt værktøj.

Eksempel 1

Rasmus har oprettet en konto, som han vil benytte som en ekstra pensionsopsparing. Han har sat \(100.000 \; kr.\) ind på kontoen i banken, og har lavet en aftale om en årlig fast rente på \(2,50 \%\) p.a. Rasmus er netop fyldt \(38\) år, og han regner med at gå på pension, når han bliver \(70\) år.

Udregn en fremskrivningsfaktor \(F\) og lav en anslået kapitalfremskrivning af Rasmus’ pensionsopsparing

\(F = 1 + \frac{2,50 \%}{100 \%} \Leftrightarrow F = 1 + 0,025 \Leftrightarrow F = 1,025\)

Antal terminer \(n = 32\):

\(K_n = K_0 \cdot F^n \Leftrightarrow K_n = 100.000 \; kr. \cdot (1,025)^{32} \Leftrightarrow K_n = 220.375,69 \; kr.\)

Når Rasmus engang fylder \(70\) år har han en anslået ekstra pensionsopsparing i banken på \(220.375,69 \; kr.\)

Lige da aftalen er indgået tilbyder Rasmus’ bankrådgiver at lave kontoen med en halvårlig rentetilskrivning på 1,25 \%. Skal Rasmus tage imod tilbuddet?

Fremskrivningsfaktor: \(F = 1 + \frac{1,25 \%}{100 \%} \Leftrightarrow F = 1 + 0,0125 \Leftrightarrow F = 1,0125\)

Med en halvårlig rentetilskrivning er antallet af terminer \(n = 64\):

\(K_n = K_0 \cdot F^n \Leftrightarrow K_n = 100.000 \; kr. \cdot (1,0125)^{64} \Leftrightarrow K_n = 221.453,24 \; kr.\)

En kapitalfremskrivning over \(64\) terminer med en mindre fremskrivningsfaktor giver Rasmus et samlet udbytte på \(221.453,24 \; kr.\) om \(32\) år. 

Det er godt og vel \(1000 kr.\) mere end den oprindelige aftale. Han bør derfor acceptere det nye tilbud fra banken.

Eksempel 2

Simon køber i år 2000 en ny bil til \(460.000\) kr. Da han vil sælge den i 2004 kan han få \(280.000\) for bilen.

Hvad er fremskrivningsfaktor F for Simons bil?

Antal terminer \(n = 4\):

\(K_n\) er den pris bilen er fremskrevet til, ergo \(280.000\) kr.

  \(K_n = K_0 \cdot F^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{K_0} = F^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}\)
\(\Downarrow\)
  \(F = \sqrt[4]{\frac{280.000 \; kr.}{460.000 \; kr.}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = 0,8833\)

Fremskrivningsfaktor \(F = 0,8833\) for Simons bil.

Det vil sige, at Simos bil i gennemsnit hvert år falder i værdi med:

\((0,8833 – 1) \cdot 100 \% = -11,67 \%\)

Eksempel 3

I et tænkt eksempel tjente danskerne i den arbejdsdygtige alder i 2012 gennemsnitligt \(30.500\) kr. om måneden i løn. I 2013 tjente de gennemsnitligt \(31.000\) kr. om måneden.

Hvad er denne fremskrivningsfaktor?

\(F = \frac{S}{B} \Rightarrow F = \frac{31.000 \; kr.}{30.500  kr.} \Leftrightarrow F = 1,0164\)

Fremskrivningsfaktor \(F = 1,0164\) for danskernes gennemsnitlige lønudvikling fra 2012 til 2013.

I parentes bemærket er den procentvise stigning: \((1,0164 – 1) \cdot 100 \% = 1,64 \%\)

Hvis denne fremskrivningsfaktor benyttes som prognose for danskernes gennemsnitlige løn med 2013 som begyndelsesværdi, hvad tjener danskerne da i 2014?

\(S = B \cdot F \Rightarrow S = 31.000 \; kr. \cdot 1,0164 \Leftrightarrow S = 31.508, 20 \; kr.\)

Danskernes løn stiger i gennemsnit til \(31.508 \; kr.\) pr. måned i 2014 i dette tænkte eksempel.

Indhold