Vækstrate

Vækstrate er knyttet til både rentesregning og procentregning.

En vækstrate er i økonomisk forstand den årlige procentvise stigning  i enten indkomst, omsætning eller produktion. Vækstrate er derfor forbundet med begrebet rente der er defineret som en procentdel af kapitalen.

Vækstrate er den procentvise ændring, der er mellem begyndelsesværdien og slutværdien. Vækstrate beskriver det samme som en procentvis stigning, herunder procentvis fald, og procentvis ændring.

En vækstrate kan både være positiv og negativ.

Lad os se på et simpelt eksempel for at definere hvad vækstrate er.

Begyndelsesværdien er \(100\) kr. og slutværdien er \(105\) kr. Det vil sige en procentvis stigning på:

\(\left|\frac{105 kr. - 100 kr.}{100 kr.}\right| \cdot 100 \% = 5 \%\). 

Eller med andre ord en vækstrate på \(5 \%\).

Forestiller man sig det omvendte, nemlig at begyndelsesværdien er \(105\) kr. og slutværdien er \(100\) kr., er der tale om et procentvis fald:

\(\left|\frac{105 kr. - 100 kr.}{105 kr.}\right| \cdot 100 \% = 4,76 \%\).

Eller med andre ord en vækstrate på \(-4,76 \%\).

En vækstrate kan også angives som decimaltal (divider med \(100 \%\)). 

Henholdsvis vækstraten \(0,05\) for den procentvise stigning og vækstraten \(-0,0476\) for det procentvise fald.

Vækstrate og fremskrivningsfaktor

Vækstrate og fremskrivningsfaktor er nært forbundet. Fremskrivningsfaktoren \(F = (1 + r)\). 

Der eksisterer nemlig denne sammenhæng:

Vækstrate = fremskrivningsfaktoren - \(1\)

Fremskrivningsfaktor = vækstrate + \(1\)

Vækstraten svarer til renten r, angivet som decimaltal. 

For den procentvise stigning på \(5 \%\) gælder det derfor at:

Fremskrivningsfaktoren = \(0,05  + 1 = 1,05\)

For det procentvise fald på \(-4,76 \%\) gælder det at:

Fremskrivningsfaktoren = \(-0,0476  + 1 = 0,9524\)

Vækstrate er en meget anvendelig måde at angive en vækst, både positiv og negativ. Vækstraten er nært knyttet til renten.

Eksempel 1

Botswana har oplevet stor økonomisk fremgang. Økonomien har især udviklet sig meget over den sidste \(10\)-årige periode. Målt i BNP (bruttonationalprodukt) er der sket en stigning (målt i US $) fra \(5,4389\) mia. i 2002 til \(14,5043\) mia. i 2012.

Hvad er den årlige vækstrate for Botswanas BNP i denne periode?

Renteformlen omskrives, da renten r er den ubekendte (Se omskrivninger i artiklen Renteberegning).

\(r = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} – 1 \Rightarrow r = \sqrt[10]{\frac{14,5043}{5,4389}} – 1 \Leftrightarrow r = 0,103058562 ≈ 0,10\)

Vækstraten har gennemsnitligt været \(0,1031\) eller \(10,31 \%\) pr. år i perioden fra 2002 til 2012.

Eksempel 2

En bakteriekultur har udviklet sig fra \(905\) enheder pr. \(cm^2\) til \(21.007\) enheder pr. \(cm^2\), på \(24\) timer.

Hvad er vækstraten pr. time?

Renteformlen omskrives til:

 \(r = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} – 1 \Rightarrow r = \sqrt[24]{\frac{21.007}{905}} – 1 \Leftrightarrow r = 0,139999893 ≈ 0,14\)

Vækstraten for denne bakteriekultur er altså \(0,1400\), eller \(14 \%\) pr. time.