"
>

Renteberegning

Renteberegning er en uhyre vigtig disciplin at mestre. Både når man har penge/kapital på en opsparing eller når man skal optage et lån. I begge tilfælde har renteberegning stor betydning.

Man får nemlig en rentetilvækst på sin opsparing, eller har en renteudgift på sit lån. Renteberegning er således en metode til at undersøge størrelsen på opsparingen eller lånet over tid.

Renteberegning kan også beskrive andre udviklinger over tid end kapitalens. Se endvidere artiklerne Rentesregning og Rente.

På denne side vil der være forskellige renteberegninger, hvor der gøres brug af forskellige omskrivninger af renteformlen, hvor i renters rente indgår.

\(K_n = K_0(1 + r)^n\)

Eksempel 1

Rebecca overvejer om hun skal optage et lån, da hun har brug for en ny bil. Hun vil gerne undersøge hvor stort lånet er om \(4\) år. På det tidspunkt kan hun maximalt overskue at lånet samlet koster hende \(200.000\) kr. 

Banken kræver \(4,75 \%\) i årlig rente for et lån af den størrelse, som Rebecca påtænker. \(r = \frac{4,75 \%}{100 \%} = 0,0475\). 

Hvor mange penge kan Rebecca låne under de givne forudsætninger?

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = \frac{K_n}{(1 + r)^n}\)
\(\Downarrow\)
  \(K_0 = \frac{200.000 \; kr.}{(1 + 0,0475)^4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = \frac{200.000 \; kr.}{1,0475^4}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = 166.116,92 \; kr.\)

Renteberegningen viser at Rebecca kan købe en bil, der koster op til \(166.116,92 \; kr.\), hvis hun om \(4\) år kun vil skylde \(200.000 \; kr.\) på billånet inklusiv renter.

Eksempel 2

Marie har tidligere arvet \(200.000\) kr. fra sin afdøde bedstefar. Hun satte alle pengene i banken for \(8\) år siden. Hendes nuværende formue er på \(238.966,23\) kr. Hvor stor har renten p.a. været?

Renteformlen omskrives, da det er renten r, der skal udregnes.

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{K_0} = (1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} = (1 + r)\)
\(\Updownarrow\)
  \(\sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} – 1 = r\)

Efter omskrivninger kan de kendte værdier indsættes i renteformlen:

  \(r =  \sqrt[8]{\frac{238.966,23 \; kr.}{200.000 \; kr.}}  – 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r =  \sqrt[8]{1,19483115}  – 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r = 1,022500  – 1\)
\(\Updownarrow\)
  \(r = 0,022500\)

Det vil sige at renteberegninger viser at Marie har fået en årlig rente på \(0,0225 \cdot 100 \% = 2,25 \%\)

Eksempel 3

Jessica har lavet en ekstra opsparing for mange år siden. Hun satte dengang \(500.000\) kr. i banken og fik en rente på \(2,75 \%\) p.a. 

\(r = \frac{2,75 \%}{100 \%} = 0,0275\)

Hendes saldo på opsparingskontoen er i dag \(792.977,97\) kr. Hvor mange år er det siden, at Jessica satte den halve million i banken?

Renteformlen skal igen benyttes og omskrives for at kunne udregne n.

Det indebærer, at man skal anvende logaritmefunktionen og kende logaritmeregnereglerne

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{K_0} = (1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\log \frac{K_n}{K_0} = \log(1 + r)^n\) 
\(\Updownarrow\)
  \(\log (K_n) - \log (K_0) = n \cdot \log(1 + r)\) (benyt logaritme-regneregler)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{\log (K_n) - \log (K_0)}{\log(1 + r)} = n\)

Efter omskrivninger kan værdierne indsættes:

  \(n = \frac{\log (792.977,97 \; kr.)  - \log (500.000 \; kr.)}{\log(1 + 0,0275)}\)
\(\Updownarrow\)
  \(n = 16,999999 ≈ 17\)

Med afrunding til to decimaler viser rentebergningen, at Jessica lavede opsparingen for \(17\) år siden.

Eksempel 4

I 2013 er befolkningstallet i Danmark \(5.602.628\). I 2020 regner Danmarks Statistik med, at der er \(5.725.179\) danskere. Hvad er den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor p.a.?

Man skal anvende kapitalfremskrivningsformlen, der skal omskrives, da \(F\) er den ubekendte, antal terminer \(n = 7\):

  \(K_n = K_0(F)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{K_0} = F^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}\)
\(\Downarrow\)
  \(F = \sqrt[7]{\frac{5.725.179}{5.602.628}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = 1,0031\)

Fremskrivningsfaktoren for befolkningstilvæksten i Danmarks Statistiks prognose er: \(1,0031\) 

Den procentvise årlige stigning i befolkningstallet er:

\((1,0031 – 1) \cdot 100 \% = 0,31 \% ≈ 3,1 ‰\)

Eksempel 5

Benzinprisen varierer fra dag til dag. Men hvert år udregnes en middelpris for benzin, som er et gennemsnit af prisen i løbet af året.

I 1998 var middelprisen for en liter benzin \(9,43\) kr. I 2012 var middelprisen for en liter benzin \(12,01\) kr. Antal terminer \(n = 14\):

Hvad er denne fremskrivningsfaktor?

  \(F = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}\)
\(\Downarrow\)
  \(F = \sqrt[14]{\frac{12,01 \; kr.}{9,43 \; kr.}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(F = 1,0174\)

Med en fremskrivningsfaktor på \(1,0174\), svarer det altså til en forventet gennemsnitlig stigning i benzinprisen hvert år:

\((1,0174 – 1) \cdot 100 \% = 1,74 \%\)

Under de samme forudsætninger, nemlig at stigningen er gennemsnitlig, hvad var prisen på benzin i 1987?

Man kan bruge både 1998 og 2012 som \(K_n\). Her vælges først \(K_n\) = 1998, og dermed er \(n = 11\)

  \(K_n = K_0 \cdot F^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(\frac{K_n}{F^n} = K_0\)
\(\Downarrow\)
  \(K_0 = \frac{9,43 \; kr.}{1,0174^{11}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = 7,7981 \; kr. ≈ 7,80 \; kr.\)

Med 2012 som \(K_n\) er \(n = 25\):

  \(K_0 = \frac{12,01 \; kr.}{1,0174^{25}}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = 7,7981 \; kr. ≈ 7,80 \; kr.\)

Hvis man formoder i sin renteberegning, at benzinprisen er steget på samme måde hvert år, vil denne fremskrivningsfaktor resultere i, at middelprisen for benzin i 1988 var \(7,80\) kr. pr. liter.