Renteformlen

Renteformlen er, som en del af rentesregning, den helt centrale formel i forbindelse med en procentvis renteberegning.

I artiklen om renteberegning kan du finde omskrivninger af renteformlen, og se eksempler på de fire forskellige varianter af formlen med tilhørende udregninger.

Renteformlen beskriver udviklingen i et lån eller en opsparing over tid. Renteformlen er meget brugbar i mange sammenhænge, og derfor vigtig at kende og forstå. Renteformlen beskriver også rentesregning med renters rente.

Størrelsen på lånet eller opsparingen beskrives som kapital, og tiden beskrives som antallet af terminer. Når man beskæftiger sig med renteformlen skal renten angives som decimaltal. 

Det vil eksempelvis sige, at en procentvis årlig rente på 3 % skal omregnes til:  \(r = \frac{3 \%}{100 \%} = 0,03\). 

Renteformlen ser således ud:

\[K_n = K_0(1 + r)^n\]

\(K_n\) er kapitalens værdi efter n antal terminer

\(K_0\) er startkapitalen (værdien af kapitalen til tidspunkt 0)

\(r\) er den procentvise årlige rente p som decimaltal \((r = \frac{p}{100 \%}\))

\(n\) er antal terminer.

Den simple renteformel

Der findes en anden variant af renteformlen. Den kan benyttes, hvis der kun er én rentetilskrivning og antal terminer n derfor kan udelades. I det tilfælde kan man bruge lidt andre betegnelser, men denne variant af en renteformel bunder i præcis det samme. Se artiklen Rente.

Betegnelserne kan for nogen virke mere logiske, og derfor er den præsenteret herunder.

\[S = B (1 + r)\]

\(S\) er slutværdi

\(B\) er begyndelsesværdi

\(r\) er renten som decimaltal

\((1+r)\) kaldes også fremskrivningsfaktoren

Husk, at hvis der er flere terminer, skal renteformlen øverst altid benyttes.

Den simple renteformel svarer til procentvis stigning og procentvis fald under procentregning.

Eksempel 1

Peter har vundet 900.000 kr. i lotto, som han sætter i banken. Pengene vil han bruge som en opsparing, når han skal købe en bolig. Banken vil tilbyde ham 3,51 % i årlig rente. Omskrevet til decimaltal er renten: \(r = \frac{3,51 \%}{100 \%} = 0,0351\).

Hvor mange penge har Peter i banken efter 10 år?

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Downarrow\)
  \(K_n = 900.000 \; kr. (1 + 0,0351)^{10}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_n = 900.000 \; kr. (1,0351)^{10}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_n = 1.270.766,03 \; kr.\)

Dermed kan renteformlen benyttes til at beregne at Peters opsparing på 10 år er vokset fra 900.000 kr. til mere end 1.270.000 kr.

Man kan sige, at Peters 10-årige indlån koster banken mere end 1.270.000 kr. – 900.000 kr. = 370.000 kr.

Det samme ville gælde, hvis der var tale om et lån og ikke en opsparing. Hvis Emma havde haft brug for at låne 90.000 kr. til den samme rente pr. år, ville størrelsen på Emmas samlede lån efter 10 år være:

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Downarrow\)
  \(K_n = 90.000 \; kr. (1 + 0,0351)^{10}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_n = 90.000 \; kr. (1,0351)^{10}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_n = 127.076,60 \; kr.\)

Emmas lån er vokset til mere end 127.000 kr.

At låne 90.000 kr. af banken i 10 år, koster Emma mere end 127.000 kr. – 90.000 kr. = 37.000 kr. 

Eksempel 2

Brian mangler desperat 20.000 kr. Brians ven Jimmy går med til at låne ham pengene i en måned, men forlanger 10 % i rente.

Jimmy skal betale hele beløbet med renter tilbage om en måned. Hvad skylder Brian sin ven Jimmy efter en måned?

Det svarer til, at der er én termin. Omskrevet til decimaltal er renten: \(r = \frac{10 \%}{100 \%} = 0,10\)

\(S = B(1 + r) \Rightarrow S = 20.000 \; kr.(1 + 0,10) \Leftrightarrow S = 20.000 \; kr.(1,10) \Leftrightarrow S = 22.000 \; kr.\)

Brian skal dermed betale 22.000 kr. tilbage til sin ven Jimmy efter en måned.

Man kan også bruge renteformlen: \(K_0(1 + r)^n\), hvor \(n = 1\).

Se endvidere artiklen om Vækstrate.