"
>

Frekvens

Frekvens er i matematik især forbundet med emneområdet statistik og sandsynlighed. Frekvens er et meget vigtigt begreb inden for deskriptiv statistik og er samtidig en af de såkaldte statistiske deskriptorer.

Frekvens har én betydning for ugrupperede observationer og en anden for grupperede observationer, hvor observationerne er inddelt i intervaller. Denne artikel omhandler først frekvens for ugrupperede observationer.

Nederst i artiklen behandles intervalfrekvens, der er det tilsvarende begreb for de grupperede observationer, der er inddelt i intervaller.

Hvad er frekvens?

Frekvens kan angives på to forskellige måder: Enten som decimaltal eller som en procentangivelse.

Man beregner frekvens ved at dividere en given hyppighed med det samlede antal observationer i et observationssæt. I det tilfælde er frekvensen et decimaltal. Det kan også angives i procent, hvor dette decimaltal skal ganges med 100 %.

Frekvens er således meget tæt forbundet med den statistiske deskriptor hyppighed.

Hyppigheden af en observation kan tælles, hvorimod frekvens skal beregnes som den andel denne observation udgør af observationens samlede størrelse.

Har man eksempelvis 20 observationer i alt, og en hyppighed på 5 af en given observation, skal denne hyppighed divideres med det samlede antal.

\(\frac{5}{20} = 0,25\)

Hvis man skal angive frekvens i procent, skal decimaltallet ganges med 100 %:

\(0,25 \cdot 100 \% = 25 \%\)

I den deskriptive statistik er frekvens derfor det samme som simpel procentregning. Se endvidere Studieportalens Matematik Formelsamling og kapitlet om procentregning.

Frekvens angives oftest som f(x).

Til at beregne frekvensen af en observation findes en simpel formel.

Frekvens formel

\(f(x) = \frac{h(x)}{N}\)

\(x\) er observationerne

\(f(x)\) er frekvensen

\(h(x)\) er hyppigheden

\(N\) er observationssættets størrelse

Lad os se på et eksempel for at eksemplificere frekvens og sammenhængen mellem frekvens og hyppighed.

Eksempel 1

Et ordnet/sorteret observationssæt angiver de 10 drenges årskarakter i dansk i en 1. g-klasse:

4, 4, 7, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 12

Inden man kan beregne frekvensen af observationerne x i observationssættet, skal hyppighederne h(x) optælles:

Hyppighed af karakteren 4:  h(x) = 2

Hyppighed af karakteren 7:  h(x) = 4

Hyppighed af karakteren 10:  h(x) = 3

Hyppighed af karakteren 12:  h(x) = 1

Først derefter kan frekvens beregnes. Man skal foruden hyppighederne h(x) benytte observationsstørrelsen N. I dette tilfælde er N = 10.

Nu kan frekvensen af de forskellige observationstyper beregnes ved hjælp af frekvens-formlen. Både frekvens som decimalangivelse og den procentuelle frekvens (hvor decimaltallet ganges med (100 %).

For karakteren \(4:  f(x) = \frac{2}{10} = 0,20 = 20 \%\)

For karakteren \(7:  f(x) = \frac{4}{10} = 0,40 = 40 \%\)

For karakteren \(10:  f(x) = \frac{3}{10} = 0,30 = 30 \%\)

For karakteren \(12:  f(x) = \frac{1}{10} = 0,10 = 10 \%\)

Eksempelvis er frekvensen af karakteren 10 lig med 0,30 eller 30 %. I dette simple eksempel fremgår det for den kyndige læser umiddelbart hvad frekvenserne er, da antallet af observationer er 10.

Men husk, for at finde frekvensen af en observation skal hyppigheden h(x) divideres med observationssættets størrelse N.

Eksempel 2

En gruppe fodboldtossede drenge vil gerne undersøge, hvor mange mål der bliver scoret pr. kamp i den tyske Bundesliga. Det vil sige, at hvis en kamp ender 2 - 1 er det lig med 3 mål i alt for denne kamp. I den kamp hvor der er scoret flest mål, er der scoret 9 mål, så der er hyppigheder fra 0 - 9.

På en sæson er der 306 kampe i alt, så N = 306.

Hyppigheden af mål pr. kamp ser således ud (fiktiv):

0 mål: 21

1 mål: 30

2 mål: 56

3 mål: 87

4 mål: 45

5 mål: 39

6 mål: 17

7 mål: 8

8 mål: 2

9 mål: 1

Efter at drengene har optalt hyppighederne kan de udregne frekvens for antal mål pr. kamp efter formlen ovenfor:

0 mål: f(x) = \(\frac{21}{306} = 0,07 = 6,86 \%\)

1 mål: f(x) = \(\frac{30}{306} = 0,10 = 9,80 \%\)

2 mål: f(x) = \(\frac{56}{306} = 0,18 = 18,30 \%\)

3 mål: f(x) = \(\frac{87}{306} = 0,28 = 28,43 \%\)

4 mål: f(x) = \(\frac{45}{306} = 0,15 = 14,71 \%\)

5 mål: f(x) = \(\frac{39}{306} = 0,13 = 12,75 \%\)

6 mål: f(x) = \(\frac{17}{306} = 0,06 = 5,56 \%\)

7 mål: f(x) = \(\frac{8}{306} = 0,03 = 2,61 \%\)

8 mål: f(x) = \(\frac{2}{306} = 0,01 = 0,65 \%\)

9 mål: f(x) = \(\frac{1}{306} = 0,00 = 0,33 \%\)

Eksempelvis kan man se, at for 3 mål er der en frekvens på 28,43 %. På samme måde ses det, at for 6 mål er der en frekvens på 5,56 %, og at der er 6,86 % chance for at se en kamp uden mål.

Intervalfrekvens

Intervalfrekvens er den betegnelse, man benytter når der er tale om grupperede observationer, hvor man for overskuelighedens skyld har inddelt observationerne i en række intervaller. Intervalfrekvens er meget lig frekvens for grupperede observationer. Forskellen er blot at det er decimalangivelsen eller den procentuelle andel af intervallerne som beregnes.

Intervalfrekvens angives som f(I).

Intervalfrekvens udregnes på samme måde som frekvens. Formlen for intervalfrekvens ser således ud:

\(f(I) = \frac{h(I)}{N}\)

\(I\) er de intervaller observationssættet er inddelt i

\(f(I)\) er intervalfrekvensen

\(h(I)\) er intervalhyppigheden

\(N\) er det samlede antal af observationer i alt.

Eksempel 3

Herunder ses en (fiktiv) oversigt over alderen på Nobelprisvindere i fysik ved modtagelsen af prisen. Prisvindernes alder er inddelt i intervaller på 10 år, da man ønsker at undersøge hvornår i løbet af karrieren man modtager prisen. Ikke den eksakte alder.

Alder på Nobelprisvindere i fysik ved modtagelse, i år, I og intervalhyppigheden h(I):

30 - 39 år: 13

40 - 49 år: 28

50 - 59 år: 39

60 - 69 år: 16

70 - 79 år: 9

80 + år:     5

N = 110

Når man har optalt intervalhyppighederne, kan intervalfrekvensen \(f(I)\) beregnes efter formlen ovenfor:

30 - 39 år: \(f(x) = \frac{13}{110} = 0,1182 = 11,82 \%\)

40 - 49 år: \(f(x) = \frac{28}{110} = 0,2545 = 25,45 \%\)

50 - 59 år: \(f(x) = \frac{39}{110} = 0,3545 = 35,45 \%\)

60 - 69 år: \(f(x) = \frac{16}{110} = 0,1455 = 14,55 \%\)

70 - 79 år: \(f(x) = \frac{9}{110} = 0,0818 = 8,18 \%\)

80 + år: \(f(x) = \frac{5}{110} = 0,0455 = 4,55 \%\)

Således kan man eksempelvis beregne, at intervalfrekvensen for 30 - 39 årige Nobelprisvindere i Fysik er 11,82 %.

Frekvens bruges også i fysik i forbindelse med bølger og gentagende begivenheder. For denne betydning se artiklen Frekvens i fysikkompendiet.