Hyppighed

Hyppighed er et af de mest basale begreber inden for deskriptiv statistik. Hyppighed betegner i matematik det samme som i daglig tale, nemlig hvor ofte et tal forekommer. Med andre ord hvor hyppigt et givent tal forekommer i en optælling eller, med statistikkens begreber, i et observationssæt.

Hyppighed har én betydning for ugrupperede observationer og en anden for grupperede observationer, hvor observationerne er inddelt i intervaller. Denne artikel behandler først hyppighed for ugrupperede observationer.

Nederst i artiklen behandles det tilsvarende begreb for de grupperede observationer, der er inddelt i intervaller, som meget belejligt kaldes intervalhyppighed.

Hyppighed er en af de basale statistiske deskriptorer. Hyppighed er derudover nært forbundet med frekvens, da hyppighed og frekvens kan betegnes som to sider af samme sag.

Hyppighed betegnes oftest med ’h(x)’.

Hyppighed er lettest forklaret med et simpelt eksempel.

Lad os se på et ordnet observationssæt med \(10\) elementer, det kunne være drengenes alder i en \(1\).g klasse:

\(15,15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 17\)

Man ønsker at undersøge hyppigheden af drengenes forskellige aldre. Det gøres simpelthen ved at tælle forekomsten af hver type observation. I dette tilfælde er der \(3\) observationstyper; \(15\) år, \(16\) år og \(17\) år.

Hyppigheden af \(15\) årige = \(2\)

Hyppigheden er \(16\) årige = \(7\)

Hyppigheden er \(17\) årige = \(1\)

Som kontrol kan man altid tjekke om summen af de hyppigheder man har talt sig frem til stemmer overens med antal observationer i alt: \(2 + 7 + 1 = 10\) 

Hyppighed i statistik drejer sig med andre ord om en simpel optælling. Man tæller hvor hyppigt hver type observation forekommer, og har dermed denne observations hyppighed.

Nedenfor er der yderligere et par eksempler på ’optælling’ af hyppighed.

Eksempel 1

I en gymnasieklasse med \(29\) elever fordeler karakteren i matematik sig således til eksamen i \(3\). g:

\(7, 10, 12, 4, 10, 7, 7, 10, 12, 00, 4, 4 12, 10, 10, 7, 10, 12, 7, 4, 10, 10, 7, 10, 12, 12, 4, 10, 7\)

Først ordnes elevernes karakterer med den mindste først:

\(00, 4, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 12\)

Nu kan hyppighed af hver enkelt karakter nemt opregnes, ved simpel optælling:

Hyppighed af \(00:  1\)

Hyppighed af \(4:  5\)

Hyppighed af \(7:  7\)

Hyppighed af \(10:  10\)

Hyppighed af \(12:  6\)

Nu ved man eksempelvis, at \(10\) personer har fået karakteren \(10\). Dermed siges hyppigheden af karakteren \(10\) at være lig med \(10\).

Da man intuitivt ved, at der er yderligere to karakterer på skalaen, der ganske vist ikke er repræsenteret i dette observationssæt, kunne man vælge at angive hyppigheden af de to:

Hyppighed af \(-03:  0\)

Hyppighed af \(2: 0\)

Eksempel 2

I et andet observationssæt, der angiver antal kampe spillet pr. spiller på en sæson på et Old Boys fodboldhold (\(7\)-mands) med \(14\) spillere, fordeler observationerne sig således angivet i hele tal (ordnet):

\(2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7\)

Hyppigheden af antal kampe spillet kan nu opstilles således:

Hyppighed af \(2:  1\)

Hyppighed af \(3:  1\)

Hyppighed af \(4:  2\)

Hyppighed af \(5:  5\)

Hyppighed af \(6:  3\)

Hyppighed af \(7:  2\)

Hyppighed kan endvidere opstilles i en tabel for overskuelighedens skyld, læs mere i artiklen Hyppighedstabel.

Kumuleret hyppighed

Eksempel 2 kan endvidere benyttes til at eksemplificere et andet begreb indenfor deskriptiv statistik, nemlig kumuleret hyppighed.

Kumuleret hyppighed beskriver hvor mange af værdier der er mindre eller lig med en given værdi. Kumuleret hyppighed betyder, at man kumulerer flere værdier sammen.

Den kumulerede hyppighed for \(2\) kampe er: \(1\)

Den kumulerede hyppighed for \(2 - 3\) kampe er: \(1 + 1 = 2\)

Den kumulerede hyppighed for \(2 - 4\) kampe er: \(1 + 1 + 2 = 4\)

Den kumulerede hyppighed for \(2 - 5\) kampe er: \(1 + 1 + 2 + 5 = 9\)

Den kumulerede hyppighed for \(2 - 6\) kampe er: \(1 + 1 + 2 + 5 + 3 = 12\)

Den kumulerede hyppighed for \(2 - 7\) kampe er: \(1 + 1 + 2 + 5 + 3 + 2 = 14\)

I forhold til eksempel 2 kunne man ønske at undersøge den kumulerede hyppighed for spillere med \(2 - 5\) kampe?

Den kumulerede hyppighed for \(2 - 5\) kampe er, som det ses, lig med \(9\) personer.

For at finde den kumulerede hyppighed for eksempelvis \(2 - 6\) kampe kan man tage den kumulerede hyppighed af den foregående værdi \(2 - 5\) kampe = \(9\)) og dertil lægge hyppigheden af \(6\) kampe: \(9 + 3 = 12\).

Det er reelt denne proces der er kumulationen. Med andre ord den foregående kumulation \(9\) plus den næste hyppighed \(3\).

Intervalhyppighed

Intervalhyppighed er den tilsvarende statistiske deskriptor for grupperede observationer. Det fungerer på helt samme måde som for hyppighed med ugrupperede observationer. Nemlig i form af en optælling af observationer indenfor et givet observationsinterval.

Intervalhyppigheden betegnes oftest med ’h(I)’.

Det antal observationer, der er i de intervaller ’I’ som man har defineret.

Eksempel 3

Et observationssæt indeholder \(48\) grupperede observationer, der angiver de værnepligtiges højde i to delinger. De værnepligtige er blevet målt til deres session og højden er angivet i centimeter.

179

193

172

197

180

179

183

189

169

175

178

194

190

184

174

168

183

186

188

177

168

171

189

185

183

179

192

176

186

199

202

174

189

183

181

182

174

187

180

170

188

180

182

178

174

193

179

181

For at skabe et overblik over disse data grupperes de i \(4\) forskellige intervaller. De værnepligtige der er under \(170\) cm høje, dem der er mellem \(171-180\) cm i højden, dem der er mellem \(181-190\) cm i højden og endelig de værnepligtige der er over \(191\) cm høje.

Denne fordeling er samtidig intervalhyppigheden, som findes ved at tælle hyppigheden inden for hvert interval. Højden på værnepligtige i cm. i to delinger:

Højde                Intervalhyppighed

\(- 170\) cm:             \(4\)

\(171 - 180\) cm:   \(18\)

\(181 - 190\) cm:   \(19\)

\(191\) cm +:            \(7\)

Man kan eksempelvis sige, at intervalhyppigheden af værnepligtige der måler mellem \(171 - 180\) cm er lig med \(18\).

Ligesom med hyppighed kan man også beregne en kumuleret intervalhyppighed. Vi ved ud fra observationssættet at Max = \(202\) cm.

\(- 170\) cm: \(4\)

\(- 180\) cm: \(4 + 18 = 22\)

\(- 190\) cm: \(22 + 19 = 41\)

\(- 202\) cm: \(41 + 7 = 48\)

Her lægges den foregående kumulation og den nuværende værdi sammen. Det summerer op til \(48\), som er det samlede antal personer i de to delinger.

Indhold