Areal af trekant

Arealet af en trekant er kort sagt hele den overflade som trekanten indeholder. Det er den todimensionelle mængde materiale som trekanten består af. Areal af trekant er derfor ofte opgivet i \(mm^2, cm^2, m^2\) eller \(km^2\).

For alle trekanter gælder den generelle formel for arealet \(A\):

\(A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g\)

\(h\) er højden i trekanten

\(g\) er grundlinjen

Man siger at ’arealet er lig en halv højde gange grundlinjen’. Grundlinjen er en af siderne i trekanten. Højden er længden af den vinkelrette linje til den modstående vinkel, som tegnes fra denne grundlinje (se artiklen Højde og grundlinje). Når man skal bestemme arealet, kan man vælge alle tre højder. Man skal huske at parre højden med den grundlinje, den er højde til. 

I eksemplet herunder er side b sidestykket AC valgt som grundlinje og højden h er indtegnet til denne grundlinje. Areal af trekant ABC kan nu bestemmes ud fra den generelle formel. 

a A B C c b = 4,3 h = 3
En vilkårlig trekant hvor b er grundlinje og h er højden fra b.

I eksemplet er grundlinjen b = 4,3 cm og h = 3 cm, og dermed kan areal af trekant bestemmes:

  \(A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot g\)
\(\Downarrow\)
  \(A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4,3\)
\(\Downarrow\)
  \(A = 6,45\)

Areal for trekant ABC er derfor 6,45 \(cm^2\)

Areal af retvinklet trekant

Højden skal ikke nødvendigvis være en ny linje i trekanten. Når man skal bestemme areal af en retvinklet trekant, er både højde og grundlinje givet på forhånd. Man vælger en af den rette vinkels hosliggende kateter som grundlinje, og den anden hosliggende katete som højde. Det er derfor nemmere at finde areal for trekant med en ret vinkel, idet højden er givet på forhånd.

A B C c b = grundlinje a h (højde)
En retvinklet trekant hvor b er grundlinje og c er lig med højden fra b.

Arealet i en retvinklet trekant er en simpel størrelse, hvis man lige overvejer følgende. Arealet af en retvinklet firkant er højden h gange bredden b. Tegner man en diagonal og dermed halverer firkanten i to lige store retvinklede trekanter er arealet af disse retvinklede trekanter hver især \(½hb\).

Hvis denne tænkemåde/logik følges, kan den overføres til de vilkårlige trekanter, og dermed giver det mening at den generelle formel for areal er \(½hg\), hvor g er grundlinjen.

Derudover kan Herons formel benyttes til at beregne areal af en trekant, både en retvinklet og en vilkårlig trekanter. Herons formel er i mange tilfælde nemmere at anvende, da man ikke skal bruge højden h (i stedet benyttes \(½\) omkreds og sidernes længder).