"
>

Herons formel

Heron var en egyptisk matematiker, der har gjort flere betydningsfulde matematiske opdagelser. Eller i det mindste har Heron lagt navn til nogle matematiske metoder og formler. Mest kendt er Herons formel. Herons formel anvendes til at beregne areal af en trekant både for en retvinklet trekant og en vilkårlig trekant. Man formoder, at Herons formel dog allerede var kendt før Herons tid.

Man kan sige, at Herons formel er en luksusudgave af den generelle formel for en trekants areal. Herons formel er netop udviklet på baggrund af den generelle formel for en trekants areal:

\(A = ½hg\).

Herons formel blev udviklet, da man efterspurgte en måde at udregne areal, hvor der kun indgår sidelængder. Således skal man ikke kende nogen vinkler, og med Herons formel undgår man samtidig højden h, hvis bare man kender alle sidernes længder. Heron introducerede begrebet den halve omkreds, \(s\) defineret som:

\(s = \frac{a + b + c}{2}\)

\(a, b\) og \(c\) er sidelængderne i trekanten

Den halve omkreds \(s\), skal indsættes i selve Herons formel, der defineres som:

\(T = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\)

T er arealet af trekant ABC

Lad os se på et par praktiske eksempler på anvendelsen af Herons formel.

Eksempel 1

Herunder ses en vilkårlig trekant ABC med sidelængderne \(a = 6 \;  cm, b = 9 \;  cm\) og \(c = 7 \;  cm\):

A B C c = 7 a = 6 b = 9
Vilkårlig trekant med sidelængder (skitse).

Find først s?

\(s = \frac{6 + 9 + 7}{2} ⇒ s = 11\)

Herons formel for areal:

\(T = \sqrt{11(11-6)(11-9)(11-7)} \Rightarrow T = \sqrt{11 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4} \Rightarrow T = \sqrt{440} \Rightarrow T = 20,98\)

Dermed er arealet af trekant ABC = \(20,98 \; cm^2\)

Eksempel 2

Prøv selv at anvende Herons formel til at beregne arealet A, med sidelængderne for trekant DEF:

\(d = 8 \;  cm\)

\(e = 15 \;  cm\)

\(f = 17 \;  cm\)

Hvis du får resultatet at arealet af trekant (DEF) = \(60 \; cm^2\) har du regnet rigtigt!